【間違えたら即終了】東大数学25ヵ年討伐ライブ【第二部】

【間違えたら即終了】東大数学25ヵ年討伐ライブ【第二部】

配回収したらうん はいえっとあ たおはようござい ますいや気持ちいい朝ですねということで えー皆さんこんにちは皆さんおはよう ございます今回はえ前回のね配信第1部に 引き続き 間違えたら即終了東大数学え25加年討伐 ライブ イエーイはいということでパート2です あのまあここにタイマーがねずっと回って ますが今10時間32分東大数学を解き 続けて ますそりゃねだって朝7時6分皆さん おはようございますえ昨日のねえ夜8時半 ぐらい からねずっと東大数学を解き続けて無事6 年分乗り切りました6年分ですねまあの 一応さっきね第1部で話になったのが あのま今週に関してはとりあえず13加年 折り返すところを目標にしてじゃないと ちょっとねまシンプル睡眠的に厳しいと いうか いうことでまそのもし13加年まで到達 できればねあの途中で間違えたらま翌週に え持ち越さないんですけどえとりあえず 13 加年終われば え翌週に持ち越すということで残りのね 12加年についてはえ来週やろうと思い ますいやちょっと待って予定確認して なかったわ 来週まあまあまあまそれは一旦ね後で確認 するとしてとりあえず今週に関しては13 年分やりますとっていうのとあま13年分 か間違えたら即終了ですとであともう1つ ね あのえさっきね配信切ったのは12時間 経っちゃうとあのアーカイブに残せない 11時間50分ぐらい以内じゃないと アーカイブに残せないということでまあの アーカイブ残すためにいいタイミングで 配信を止めようと思います止めようとて いうか枠を作りと思いますまそこら辺です かね共有としてははいで えま朝7時ということで皆さんあのね受験 生の方すごく生活リズムがいい方は そろそろ起きたんじゃないでしょうかあの 起きた方はね是非今から一緒に伴奏し ましょうあの東大数学一緒に解いてま僕は もう疲れはってるので結構ペース落ちて ますだからあのきっといい感じで伴走 できるんじゃないかなっていうに思います ねあとま 僕ま今回のね企画なんですけどあの共通

テストがちょうど先週に終わってまあの2 次試験にね向けてこれから切り替えていく ぞという事件性が多いと思うのであのま あの2次にね頭をフィックスするために 整えていくためにあの2次試験のまね王で ある東大数学に挑んでるというわけですま だからあのね自分のペースで是非一緒にね 勉強してもらえたらいいかなと思いますし あの僕もあの解きながら自分の思考 プロセスあとここから手元のねあの僕の 解いてる姿が見えると思いますのでまそれ も是非参考にしていただいて日頃の学習に ねえ生かしてもらえたらいいなと思います まあの僕自身徹底基礎講座数1A2B3と ま徹底基礎講座はねもう全ての大学に通用 する数学力が身につくもう最強の講座と いう風にに胸を張って言えるんですけどま どうしてそういうねあの胸を張って言える 口座になってるかというとあの僕自身がね あのいろんな問題を解く時の思考プロセス これはこういう風に変形すればいいんだ こんなん別に誰だって説明できるしあの 参考書って大体そうすよねこれは平法完成 するとかこれは微分するとかでも大事な のってなんで平法完成するのかとかなんで 微分しようと思うのかとかそのなんでの とこじゃないですかなんでそれを思いつく のかっていうその思考プロセスをま全部 言語化してるのであのそれをなぞって あげれば再現性を持って皆さんもねあの 難しい問題が解けるようになるとまそれ僕 はパターン化してるのでまパターン化し てるからこそあのねその口座を作る過程で 自分の中で思考プロセスがままたクリアに なって一層ね数学力がついたとまそれに より無事東大数学6年分ね倒すことができ てるわけなんですがま是非あの気になる方 は概要欄の方からチェックしてみて くださいはい じゃあ今2018年まで来たのかそうです ね次7年はい次2017年ですはい 2017年の第1問からえ解いていくので 是非一緒にやっていきましょうはい じゃあもう始めちゃいますかはいいき ましょうそれでは2017年度よい スタート おしま第1問奇跡領域ですね第2問確率第 3問複素 数第4問 整数第5 問ん微分第6 問体積積分だなきっとということでやって いきますかえ2017年の第1問Fシが これとシが0から5GがこれうんFシとG シをx=cosシの正式で

表せとてもシンプルな問題ですねFシは cos3シが4×3-3x +えA倍の2×2-1+BXということで 4×3+2ax2+B3x-AかはいGシ えF0は1+A+Bとcos0がね1だ からねということでFシからこの1+A+ Bを引いてx-1で割れる かま4×3+222+B 3x マうん2a+b+1ということで4x 2+2A+ 4x+2a+b+1でちゃんと割れてる よかった 素晴らしいまこれでね割切たらここら辺の 計算ミスなかったんだろうなっていうのが 確認できて安心できていいすねはい過去2 Gシがシが0から5の範囲で最小値0を 取るためのABBについての条件を 求めようまた座標平面上に移し せよこの問題簡単じゃ ないこの問題 は簡単ですね-1からXが1の範囲という ことよねでこの範囲ででこれが最小値0に なればいい とうーん まず-1から1で端点含まないから軸が ないと最小値取り得ないよね軸がえ-4A +2 ということなんだけどこれが-1から1が 必要すなわち -4倍すると-4から4になってえ2引け ばいいから-6小なりA小なりマナじゃ ない2-6小なりA小なり2が必要 とでこの条件のも で結局ま平法完成してあげれ ば平法完成してあげれ ばっていう話ですよえ16/4+2の2 -4+2の2+2a+b+1が0になれあ ここが0になればいい という こともう終わり じゃんもう終わりじゃないです か1/42+AA かはい はいこれが答えで図する とAがえ0と4 かだ から-6ああ白丸だね -6のところは含ま ず2のところも含ま ないここが-1ここが9+615こんな 感じか なまあまあまあこれは簡単でしたねあ ちなみにえもしかしたら計算ミスしてるか もしれませんね手元こっから見てる人あの

計算ミスしてるかもしれないですけど年度 単位であの採点してくので後で第あの6問 まで解終わった後もう1回見て復習して 間違ってないかっていう検算をしてえ提出 っていう形にしますはいなので今間違って てもここで即終了じゃないから安心して 安心してくださいというかあの気にしない でくださいまだ間違ってた場合ねあの修正 しがありますはい四角に場合の数ですね今 第1問終わりました座標平面上でx座標と y座標はいずれも整数である点をえ更し点 という甲子線上次の規則に従って動くテピ を考えるOにあるMになる時1秒後のテピ 位置は隣接するなるほど右か上かえ左か下 かにいて1/4ずつ と だいぶ四角に簡単じゃ ない6秒のうち右上左下が何回ずつ行けば いいのかっていうことが分かればいい からだいぶ簡単な気がするけど ねえだから結局これをえX1回X2回 y1回y2回みたいな感じで書いてあげる と結局X1+x2+y1+y2っていうの が6 かつえx1-x2のX座標とY1-Y2の えy座標が同じになるように え考えてあげればいい ととすると結局x1+y2=x2+y1だ からえ=3 とこれを満たせばいいんだよってことよ ねだからこれが3回これが3 回っていうえ関係を満たせばxy=x乗に あるのかということですごく 簡単 1/2を6/2の6乗を6C3え 44 20 5/16これか1かこ2最初から6秒後に 原点Oにある確率を求めようだからX1= X2とy1=y2だったら点にあるから えま結局 0033なのか 11ん1122なのかま 2213がそれぞれあってま当然これ対称 性より同じ確率ですよということが分かる のでまこれの確率を求めてあげると 6C3く1/4の6乗これはえ6か5か4 C26か1/4の6乗でちょんちょん ちょんちょんということで1/4の6乗か まこれ654の6だから20だよねえこれ が365188020000これの2倍 と終わりま400っていうのがえ16で 割れるからこれが 4 26うーん簡単ですね四角2

終わり続いて四角 3複数平面上の原点以外の点Zに対して これをとするとうんアを0でない複素数と し点アと原点を結ぶ線分の垂直2等分線を Lと する点Zが直線上動く 時あアが定数っってことね オだからアルを0でない複素数としておま アルの垂直に等分線ああまいいか垂直に 等分線をLと するでZがL上を動きますよ とこの時点Wの奇跡は円から1点を除いた ものになるこの円の中心の反を 求めよう うん 正直 正直答えは分かる ねここがアじゃ んだからZがアの 時Wっていうのはア 2だここのア 2うんま2のところに来るわけだけど えっと無限円転にある場合っっていうのは 0に近づくわけだからまおそらく 0とア2を直径とするNからOま原点を 除いたものになるんだていうことはすぐに 容易に想像つきますね はいということでまそれで求めちゃえば いいんですがまこれは要 は反転反転だよね反転反転ではないか複 素数だ からでも反転したものをx軸対処にやっ てるだけかだ から円になるに決まっ てる 中心 ア 半径の絶対1 これでいいんじゃないですかっていう話な んだけど本当はね答えは出てるから ねまあまあまあこれを ちゃんと計算しましょうっていう話か一応 ねでえZがここL上動く つまりまZの絶対値 とZ-アの対値これがあこれ一応これが 答えなんだ けどこれの計算方法としてはこれですとと いうことでえWZ=1置き換えちゃい ましょうでこれ計算すると1=1 -W OMWALだからえっと Wの奇跡求めたいんだもん ねwの奇跡求めたいからま1ダうんとアW -1=1でアで割ってあげればアの絶対値 で割ってあげればこれこれということで

中心がこれになるとでちなみにWで割っ てるからWが0かどうかっていうので場合 分けしなきゃいけないんだけどwが0の時 はありえない終わり過去2 1の3乗根のうちえ虚部が正であるものを ベとするうんベとベ2乗を結ぶ線分上を点 Zが動く 時だからえ1の単量だから-1/2/√ 3iと1/2+1/2-√3iここだ ねをベ とベ2この線分をZが 動くだからこれって結局0と-1の垂直2 等分線の一部っていう風に言えるわけだ から 結局中心-21 あ 中あ 違うまか1のZ= -1とすることによってア=-1とする ことによって中心が-1半径 が1の円の1部ということが分かるとで これあと変に着目すればすぐ分かるね変が え120から 240°の間ですとでえ12っていうのは 結局120°から240°の変革の間にま x軸対処に動かすだけだもんねということ で中心-1半径1の円があっ てまこの円の うち60°のうんここか60°だから結局 ここか正三角形のこういう感じなのかこっ からこうだ ね はい-1でま半径が1ですよ と はい 終わり四角3も終わりということで四角4 に移っていきます かま後で間違ってた場合は後でね確認する んで四角 4えP=2+√5とこれああなんか見た ことあるわてかよくある問題だよねこれA 1は2+√ Pが2+√5だったら-Pっていうのは えっと2-√5かっていうことが分かるの で結局2+√5 のN乗+2-√5のN乗って形になります よっていうことね うんなのでA1は足して4a2 はえ2乗2乗すれば いいだ から 18過去2Nが2以上とするA1anを an+1とan-1を持て表せうん まよくある問題です ねよくある問題ですねま一旦ラXラYと

買っておくと えX+ YXN+YNっていうのがXN+1+YN +1乗の他 にXYXN-1+YN-1っていうのが出 てきちゃう からこれがA1anに他ならなくてここが an+1でここがan-1でラXYが-1 だから-an-1と はいかこ3Nは自然数であることを 示せ うーんまこれ2項定理2項定理で分解して あげれ ばね2のN乗 +まNC1下2のN-1か√51乗+点点 +√5のN乗と2のN乗 -か2のN-1乗下√5の1乗+てて とすいませんまこういう風にできてこれ 結局足し合わせるとえっと√5の奇数上の 項が全部消えるからえ√5の偶数 上ま√5の偶数 上のみが残るとということでえ結局anは 自然数ということが言えるよねとまこんな 感じですかねま一応全科式を使っても 解けるか な解けるねan+1=4an+an1これ のえま機能法を使って求めることもでき ますよとまどっちでもいいでしょうか4 an+1とanの最大公約を 求めよう まあA1とA2の最大公約数2で一応A3 も求め とく4倍してだから5え72+4で76だ から2だねちゃんとだから2であることが 予想されます よああ簡単だgcdan+1とanan+ 1とanの最大公約数なんだけどこれって 結局an+1っていうのは4an+an- 1に変換できてユクリットの5情報より4 anを消すことができるよってan-1と anの最大公約数これ機能的に繰り返し 使うとえA2とA1の最大公約数に等し4 と18で2と 終わりあけな 20分かとりあえず大門4 終わり資格 5Kを実数とし座標平面上で2つの物線C Dの共通接線について 考えるy=ax+bが共通節になる時Aを 用いてKとBを表せたしA=-1とすると [音楽] うY=2+Kとx=y2+Kの共通接線 でしょだからX2+BあX2+K=aX+ bだからX2 –

AX++KB=0 とこれが接してるわけだからD=A2-4 倍のKb=0これがま丸1ですよとで 今度逆に えAX=AY2+KAKなわけだからこれ が =Y BそうだよねAXがAY2+AKこれがY BだからAY2-Y+AK+ b=0とでこれAが0かどうかで倍し なきゃいけないね一応 ねはいAが0の時 んAが0ってことはY=Bかありえません ありえないはいということでAが0じゃ ない 時っていう条件のもでえD1のD2が1- 4 aAK+Bこれが0とはい丸102を連立 させてAを用いてKとBを荒らせえKとB KとB ねえKBが442 と逆にAK+b が1 と足すとA+1Kが44倍のA2+ 1をK= 1/4倍の4a分 のでA3+1がA+1で割れるからA2- A+1なの かでb が1/4a2乗引けばいい から4AA3 えこんな汚い数になる これ一応KをA倍してA3-A2+AA 3-A2+Aで1/になるな [音楽] うーんま一応連立方程式解いただけです 傾きが2の共通接線が存在するようにけな 体を 定めるこの時共通接線が3本存在すること を示しそれらの傾きとY設を求めようま とりあえずAが2ことだよねAが2って ことはK が4/84-2+ 1/8 3Bは8のまえ3+ 3-8 -5/8ということでK=3/8B= -/ となるAが他に存在するわけだよねそれを 求めてくださいっていう話かI seeKって何だっけこれか 3/883の 時このBっていうのは結局 え3本存在 する3本存在するってKが

さ [音楽] うーん3本存在するってどういうこと だ3本存在するだってこれ3/代入したと して Aが何個あるかってことを考えたいわけだ よ ねんちょっと待ってなんか変なことしてる -A+1A2-あれAが2代入したら 4-2+1/でしょKが 3/4A3A移行してA2-52A+1= 0A2とA1/2=0ということでAが 2/と1/2が1つの答えになるんだけど そうだね逆関数だ からこれら逆関数だから2/と 1/2これが1つの解にえ傾きにな るっていうのは合っ てる Aが2の時は8のからY=え 2x -/とY= 1/2xま1/2ここに入れれば2 の-1/8+1/4-1/2+ 11/ -//5/6かでこれ逆関数になってるよ ね移行して2で割ればうん逆関数になっ てるこれは絶対見つかったんだ けど3 本どっから出てくん だ はいA-1ってこと か A=-1の時これ倍分けしなきゃいけない なそうだよねここA+1で割ったもん ねA=-1の接線が存在するよっていう ことを言ったいのかまy=x2+38 の接線を考えてあげる と んてか絶対存在するよ ね絶対A=-1の接線存在する じゃんだってy=x2+Kって絶対 -1絶対-1の共通接線存在するっていう ことに今気づいたわいやそりゃそうだy= x対象なんだもんねえ絶対存在しましたと いうことでA=-1の時結局え2xだ から接点が- 1/2 -12 5/ということでえY= -x+ 3/ということですかねま3本存在する これとこれとこれっていうことが分かって 傾き が え2/2

-1でY接辺がそれぞれ -/ 16ですか ねでこれは後で 計算チェックを するちょっと待って よ絶対3/8じゃ ない1/8 だなぜ今気づいたかと言う とこれ3/8頂点だから3/8を通るわけ ないっていうことに気づい たっていうことですね うん オッケーでは続い て四角 6ちょっとマイクだけ変え ま よいしょおこのもこの年調子いいな最後の 問題に引っ張られなければあと計算ミスし なければ天王を原点とする座標区内で1ぺ の長さが1の精算書opqを 動かす うんA10000 子おA AOPぺ長さが 1Qが001にある 時点PのX標が取り入る値の範囲とシが 取り 範囲えめっちゃ簡単じゃんくるっと回っ てくわけだもん ねくるっと回りますよとま一応Pの座標と して考え売るの が [音楽] うんと 1/2√3ということで3√3cos52 √3sin5 1/2ということでx座標の範囲は-2√ 3から√3だ しシが取る範囲っていうのはま100と 内積を考えてあげることによってまOA ベクトルとOPベクトルの大きさは共にね 1なの でcosシっていうの は んcosシこれ32√3cos5 かこれは-2√3から32√3の範囲に ありますよシは当然30°だからえ 56 から65 パ はいいい感じではないでしょうか今の ところあシ0°から180°30°から 150° だ過1で過2Qが平面X=0上だ

からここの範囲をぐるって回ってくって ことか回転対称性あるもんね辺OPが通過 しる範囲をKとするKの体積を求めようま だからOPがこういう ね塩水局面あるからその塩水の内部は違う よね 変変opだもんね辺OPこの 塩水のをくるっと えx軸中心に回せばいい とまあ塩水はねベッとてあげるとま2次 極性になって今回の場合放物性にな るっていうことが明らかなのでまx=tで 切断してまTは-2√3から32√3 以下の範囲で切断してあげる とまこの方程式っていうの が 結局えx2+y2これがどういう風に表す るかという とはえ高さがZの 時√3Zだから3Z2 か塩水のね曲線のあ局面の方程式ってあの よく出るんで是非求められるようにしとい てくださいますごい簡単 でここのねあーま斜めの塩水はちょっと 難しいんすけど例えばこういう問題だっ たらこのZ座標で切った時の半径はって 言ったらこれがx2+y2で表されるから この半径をZで表してこれの2乗っていう のを計算してあげればいいよっていう話な んですよねx=tあとねベクトルを使うの もありだねベクトル このえ点Pうん点Pそうね塩水局面上の点 PをえXYZでしてOPベクトルとOQ ベクトルまこのZ軸方向のベクトルの内積 まcosシがいくつっていうのに着目して 内積で式を立てることによってXYとZの 関係式を立てることができるとまいろんな 解き方がありますがとりあえず塩水のね 局面の方程式を立ててx=tなわけだから Y2-3Z2=-T2 とでこのうちのま 一応えZが0以上1以下の 範囲っていう制限がありますよ とということで でまYZがあった時にこういうグラフっす ね極 線Zがんなか 13T2みたいな 感じでこれ をx座標上でま回転させるから1番近い ところと1番遠いところがこういう感じな の か意外とそんなに難しくないな切断面は えっと短い方の半径 が32

乗違う√32 だでZが 1ということ で えっと今求めたいのはy2+Z2の範囲と いうことだからまy2+Z2あZの範囲が うYが0の時 Z2が32Zの2が3T2yが0の時と いうことでえ内側の半径はあ内側の円の 面積は32乗で外側のNのえ面積はZが1 の時だ からY2 が3-T 2ということ でy2+Zの2乗は3-Tの2+1だから 4-T2乗 かでこれ をZあTが-2√3から32√3まで積分 しますよと0から32√3まで積分した ものを2倍すればいいから2 パ4-4T 22かえ4-22√3だから2√ 3 引4/9T3 4/93/42√ 336√ 3√3はい一旦答え出ました が一応検算タイムに入り ます2017年一応一通り解いたけど健山 に移ろうと思い ますえこ1Fシが4×3- 3x+A倍の2×21+ BX 足うん今シに1を入れてみましたcosシ が1の時ねシが0の時でこれでcosシが 52の 時こん時ま要はシが0の時は-Aだけが 残るもんねオッケーあってそうGシはx- 1F-F 0これからF0である1-abを引いてる から-2A+B+とうんでこれかるこれし たら ちゃんと2+4-4はいえ2a+b+1- 2aだから消えてB-3はい マオー過 2Gシ が0から5の範囲0から5の範囲ってこと はcosシは1から-1だもんね-1から 1ということ は軸が-6から2の範囲にあることが必要 と実際-6の時は -8×1だし2の時 は-1だしオッケーじゃこの範囲で えっと結局これを平方完成し てじゃちょっと変わり変わった計算方法し

てみるかこの-4/4+2をここに代入 することによっ て44A+2の2 乗引44の ま2A+2の 2+2a+b+1なんだけどこれ入れてみ ますか1/42-A+ 1-1/4A+2の2+2A+あだから+ 1/4A 2+A+ 1うんこれ1/4倍のA+2の2だもんね 消える0オッということでB=1/4A2 -Aの うち-6から2の範囲これであれば絶対 いいよ とで一応これも平方完成しとくかaの2乗 1/2だから [音楽] -2-1 かはい2-1の2から-6だからで原点 通るからこんな感じです か -6-8641-1で15 オッケーこれがAB と大門2大門2簡単だったよ なX1x2y1y2で6秒後にy=x上に あるということは X1-X2とY1-Y2が 一緒ということでx1+y2とx2+y1 が3にあればいいだから結局これでいいよ ねっていう話よ ねまそれ かまあまあまあ うん応入れてみるか1221だったら -1-1うんオッケーオッケー でしょ迷い1=y20033 112220-001 これは1/46か654C265620+ 1802これの2倍だから 400400を16で割ると25という ことで4の425で 265四角3これもね絶対答えをもう 明らかに求めた後に本当に合ってるよなっ ていうのを確認したから 間違ってるわけないよ な過去 に3条項の地去部が正であるものベタ うんだからベタっでベ2乗を結ぶ線分上X Zが動くこの時点でえっと奇跡としては この円の一部でそのうち のえ変が120°から200ま200 140°の 間でえっと1にした場合は変革はx軸対象 になるわけだけど結局120°から 240°だから

ここですというわけです ねでこういう 一旦ベの時瞬間の時 はここだよね-12-2√ 3大丈夫 だ大丈夫そうです ね4ん奇跡を 求め奇跡を求めて一応奇跡求めといた方が いいX は-1の 部分これでいいか な おわW+1が 1 かつ がえ 60°から200 140°ま一応何個か 答え出しといてで四角4四角4は まあ四角4は大丈夫 でしょう うんうん大丈夫 四角 後 ああだからこの四角5と四角6はね計算 ミスを誘発しやすいと思うのでこれ逆にy =x2+えっとKが3/8とx=y2+ 3/8これの共通接線を求めることによっ てKとBが合ってるかどうかっていうのを 確認することができそうです ねこれの共通接線 はま例えばTT2+3/8の微分をする ことによってえっと傾きが2Tだ から2tx-t+t2+3/はいこれ2 tx-t2+3/8がこれと連立させる ことによって2TXが2ty2+3/け2 Tだから 3/434 T足すとy=2T2-T2+3/4T+ 3/ とYD =え 1-8T-T2+3/4T+3/=0だ から8T 3-6T 2-3T+1が01代入するとT18T 2違う8T2+2 T -1これが2Tと4tでえ+1-1だから Tが1-1/21/4 というのが出てきてこれをここに戻して あげれ ばこっちかy= 2xえY=-x+ 1/8Y

= 1/2x+5/6 よしこの3つが出てきてるから別の答えで も確認できましたはいじゃあ えっとAを用いてとBを表せもう多分合っ てるっていうことよ ねだからAが2の 時4/84-2+ 12の 時8のまこから-8すればいいから8-次 Aが1 の -14+1+1お-1の 時K でしょああ-1の時はダメなんだ-1の時 は置いといて1/2の時2/の4-1/2 + 1/48 か2/ の 224- 1/5/8だから5/6合ってるなよし 四角5も合っ てるじゃあラスト四角 6か1はいい でしょ-3/2√3から32√3と30° から 150°です ねということ で天球がx=0上を動く 時OPが通過シルはいだからこの塩水を くるっと回せばいいわけでしょ だから えx2+y2=3Z2の方程式が合ってる かどうかについて は2√32√3あこれ代入してみよう 1/2 を 4/+=4/4合ってる はずということでX2+y2=3Zの2は 合っ てるそうするとZあX=Kx=tで切断 するとそれは-2√3から32√3の 範囲これ一応丁寧にやるかここ ではって変なミスするぐらいだったら ちゃんと丁寧にやりますx=t tということでy2-3Z2が-T 2 でZが1位かまZが正で1以下のところに ついて考えてあげればいいわけだ から ま一旦ねTが0の時とえ32√3の時 それぞれ考えてあげればいいわけだけど 1番遠い近いところがえYが0の時Zの2 乗が332√33T2乗のところ1番遠い

ところがZが 1すなわちy2が3-T2 Yが√3-1√え3-T2+14-T2 から3T2引いたものがの5倍っていう形 になるの かすなわち 倍するところ の え4-3T2これが足からしのかっていう のはT=32√3を入れてみれば分かる 343全然確からしくない な4引T2乗√3入れる と4 Tが3√3の時は4-34 で 3/4引くあれこれとこれがね一緒になる はずなんだよねじゃあ違うわTが32√3 の時に0になるはずなんだよ ねはい危ない危ない気づけてよかった何か が おかしい何かがおかしいんです がそうこうやってねこのT=32√3の時 に0になるはずっていうのを ちゃんと 見抜くこれは非常に大事なこと です大事なことなんです [音楽] よ Yが0の時Z2が3 2Zの2乗が3T2√3 ま√33Tっで1回やろう かです とでZが1の 時3-T2√3-T2 乗4-T2乗と3T2乗なはずなんだけど え何がおかしいんだ何かが間違っ てる 何かがおかしいなんか合って ないえっと√3TTが3√3時2/ の1だよね1/ 合っ てるでTが2√3時ここがおかしいん だ√3引Zが ああなんでこんなことし てるここが1に引っ張られて1にしてた けど1/2やん危な 1/2 だなんだこれ1/2だよZは0から2なん でこんな初歩的 な恥ずかしいですね非常にでもこのミスが 気づけたのは でかい34-T2 かそうすれ ば +1/4だから1-T2乗になんのか1-

T2だ とえ1-T2だとここが1になっ てTが3√3入れることによって1/4- 1/4うん0 だよっしゃで一応T=0の時は1番といい ところが-10うんここの斜めの部分に なるから1当然1で1番近いところは当然 0よしすごく確からしいこれっぽいなって いう答えが出てきます ねということで22√3っていう風に変え なきゃいけなくて2/6√3あご√323 √3 か果たして これは計算したがこれはこれで正しいのか どうかは分かりませんなのでちょっと変則 的なy2+Z2さえ求めればいいという ことでえZが21の 時まy2+Z2y2-3Z2が-T2y2 が3Z2-T2なんでね4z2-T2って いう風に変換することができ てZが1/2の時は1-T2 よし5とかも忘れてないよね積分範囲とか も大丈夫だよねなんか色々不安になってき たな1-T2乗これは合ってるでぐるっと 回るからで3T2乗もぐるっと回るから 合ってるその差を取ってこれをえ0から2 √3ね√3まで積分したものを2倍する うんあってるということで2え1-4T2 乗これがT=32√3の時0なってるで 一応T-494t3これ微分すると1- 43T2になっていてえまT1-9T2と でもしておきますかそ32√3え4 333√3とのパだから33√3パ合っ てるんじゃ ないはいはいあ充電残りあ大丈夫だ大丈夫 でした はい今回はね意外 とあっさりしたセットだった気がする そんな感じはするね じゃあ四角1から順番に行っていきます はいお願いしますか1はいFシはまx= cosシの正式で表せなのでX使って表す と4×3+2ax2+B-3x-aでGシ が4×2+2A+4x+2a+b+ 1正解オでかこ2がえっとまずAが -6小なりA小なり2が必要でその範囲の 中でB=1/4A2-Aでそれを図してる だけもう1回Bもう1回1/4A2-A えっと平方完成すると1/4A-2土の2 乗 -1はい解です よし問えっと-615と2-1をベって 結んだだけはいではいオですはい ありがとうございます2はえ5/16と 25652乗になってんなはい両方正解

ですよしこれ簡単だったで3がえっとか1 が中心が ア半径がアの絶対 1正解でかこ2が えっとね一応いろんな 図図 これ の半径1の 円-1/2実が-1/2以下の部分はい はいはいはいをベって書いただけ はい正解ですあござますでは四角 4か1は4と18両方正解かこ2がan+ 1-an-1正解でかこ3はまどっちでも いいんだけど2+√5のN+2-√5のN 乗なわけよanってはいだから2項定理 使って分解すると えっと√5の奇数上の項が全部相殺されて √5の偶数上の項だけが残るだから整数に なるまあるいはanえ2よりan+1=4 an+an-1で機能法で機能的に整数に なるどっちでもまあいいと思うなるほど はい大丈夫です正解でかこ4は2正解 はいで5がかこ1がAうわうわこれ表記 揺れありそうだから一応表記揺れ含めて ちょっとチェックお願いし ます真ん中ら辺真ん中の右Kと B 両よしでかこ2がま3本存することをなん だけどま求めれば示したことになるから はいで傾き が1/1/2-1でそれぞれ2の時は -5/8Yがで1/2の時は5/16はい で-1の時がえちょっと待って字が 1/8正解 オで四角6がか1がえっとx座標が-2√ 3以上32√3以下シが30°以上3 150°以下正解でかこ2がここれ33√ 3 パ正解 よしえこれさかっこにさ最初間違ってたの よああ6の格にそううんあそうだよね直し えこれさうんうんうんコメントって違う よって流れるのああならたまにあのそう いう時もあるねあるんこれ何々なのでは みたいなこれ違うのではってていう時いう 人もたまにいるよそう第6問かこ2そう こういう感じでえっと1回バーって俺は 解いてうんまその最終提出の前に健山する うんで今回気づけたのは えっとあ違うX=32√3の時べって切っ たらうん断面が0にになるはずなのに0に なってなかったからなんかおかしいなと 思ったらなんかZ座標が1/2以下なのに 1かっていう風になぜか書いて てこれもね注意力が落ちてる証拠ですね

けどそれはまあいいいいとして2017年 クリア7年7年か7年倒しまし たあと6年あと6年です今日のところは あと6年です ね今日はあと6 年 よし目標はい今日の20 時えあと6年でしょ うん今日20時待ってあと1も1年あたり 2時間だとしたら12時間じゃじゃん8時 20分だから20時行けるよ行けるだっっ て1年間で2時間かけられんだ よ仮眠今計算入れてるそれ仮眠まだ入れて ないまあまあまああの眠たなったらあの 無理するはいはいちょっとお腹空いてきた なオからなんかさっきと同じやつお願いし ます炭水化物取ったら眠くなるからって いう ねもう早速次行きたいわオケお今ねいい 感じだもんねうん今んとこね7年うん 討伐ということで全体からしたら2%討伐 なんだけど今日のところは一旦13年でえ 切り上げますで13年もし万が一仮に討伐 できたとしたら来週に持ち越しということ ね残りの分についてはねでえっとそうだな まそんな感じとりあえず7年間ね討伐でき てるだけでめちゃめちゃあの良かった本当 ね正直うん2年目くらいでやばってなるか なっと思ったのようんうっかりミスとかで うんそれでも一応7年分はとりあえず持っ てるからよかっ たこれで別にねうん十分すごい もうまあまあでもね徹底基礎講座スチa2 b3開校してるので是非あの概要欄から チェックしてくださいよしやるかはいはい まよきまして2016ですよしいや本当 ね徹底基礎講座なんかもう2016 ってリギに書いてたわえ1234あ ちょっと計算よしここにあるねオよし オッケー おじゃあやりますかお願いしますそれでは 2016 年 スタートしゃ第1 問第2問確率第3問面積第4問複素数第5 問謎第6問体積やりますか待ってこれ第6 問ね多分徹底基礎構造数3で扱ってる最後 の方のチャレンジ問題として解説はしてる けどうんあのね覚えてないよああ解き方 っていうか思考プロセスは全部覚えてるあ そういうことうんてか思考プロセスだから 大事なのそんなね問題に対する答えを覚え ても何の意味もないからということで1番 やっていきます 全ての正の実数xに対し次の不等式を

成り立つことを 示せま自然対数の定log取るでしょうま logが単調増加であるということを言っ て一旦log取ります Xまlogx+1-log x小なり1小なりx+ 1/2logx+1-logx と ということ で [音楽] うーん じゃあ行かせていたいただき ます結局これ何が示せばいいかってlog x+1-logx が正の実数だもんね1より小さくてX+ 1/2これを示せばいい といいよとということで辺 引え左辺右辺-中辺っていうのやっていき ますとま右 -中これをFXみたいな感じで置いて あげるとfprimxっていうのが-x 1/+X+1- 1X2X+1のああめんどくさ-x-1+ x 2-x2- x消える -2x- 1 歩つまりFXは単調 減少 です単調減少ですということはこれが正で あるためにはxを無限に飛ばした時0より 大きいってことを言えればいいのか な無限えFXはまLogあ 1-logの1+1ということでXを無限 に飛ばしたら0-00 はい右側は示せました 次えな引左これをなんかGXっていう風に 置けばgプXはま同じようにx+1- 1だからえマイナス最初からこれで一旦 くっといた方が早かったかなあ-x1/と -xx+11/1でそりゃ負になる か えこれも負になるわてかそりゃ負になる わなんかもしかしたらすごいうまい計算を しちゃったので は天才的な初手の変形がうますぎたのでは 絶対不だもんねということでXを無限に 飛ばしたら一緒じゃん待って初手うますぎ たのではえこれうまくいきすぎてて怖いん だ けどログ1+1-X+1/2も当然0に 飛ぶ から答え終わり

え待ってこのこの初手の変形うますぎたの では割れながら自然対数の定だからまず log取りますと1でXlogで1+1を のlogはxx+1って変形すればlog x+1-log xでこのまま微分したらめんどくさいなと 思ってlogx+1-logxに着目すれ ば1より小さいのとX+1/2より大きい これがせればいいよねっていう話 であよなうまくいきすぎて 怖いいやいやいやうまくいきすぎてた わ違っ たびっっくりしたなんかうまくいきすぎ てるなと思ったけどこれ引だわ符号違った 危ねえ 危ねえ危ない危ないだからXX+1 の1- XだからX2X+1x-X+1まどっち道 -1なの かどっちみちねどっちみちそうでし たこんなさ初歩的なミスする時点 でちょっと注意力3万です ねでこっちもあれこれはプラスだ からまあXX+1のx+1/2の2乗と これ括ることによって-x2-X+ 1/4+X2+Xこれ消えてあ1/4だせ だ 単調増 か単調増加だ なってことはゼロを代入し たえ 違う わログ無ログ0ってマイナス無限だからね 単調増加なはずがない計算ミスしてる な計算ミスおこれ-1/4じゃないかい はい-4でした失礼しましたということ で はい ふふということで無限に飛ばし て ゼ第1問第1問は照明問題だから絶対合っ てる わ第2 問 えー確率ねABCの3つのチームが参加 する焼の大会を開催する2連勝したチーム が出た時点で2連勝として大会を修了する まずaとbが対戦次勝者と待機してたが 対戦軽試合目で優勝チームが決まらば勝者 と待機 うんなるほど全ての対戦においてそれぞれ チムがけ1/2の引き分けはない括1Nを 2以上の性質とするちょうどN試合目でA が優勝する確率を求めよう と

だから3試合ループが起 るってことかループをループをどこから どこかで抜け出せっていうねシュタインズ ゲートみたいなことが起こるわけ だまずaとbが対戦し てあで倍分けが必要だな まずaとbが対戦してAが勝った 場合次AとCが対戦してAが勝ったらその 時点でループが終わっちゃうからCでB Aてんてんてんと 続く1戦 目あるいはBからスタートした場合にあB が勝った場合に控のCa bてんてんてんっていう状態になるのか ちょうどNC目でAが優勝する 確率だからAが優勝するとしたらAの直後 にAが来るかAの直後にAが来るか あるいはここでAが来る かここでループをま止めるかどこでループ を止めるかっていうとこなんだよねま今 考えてるのは えっとま要は勝者がACbacBなのか BCabCAなのかでどっかでBCCって いう風に2連勝したところがあったらその 時点で優勝が決まるとだからAが優勝する 確率っていうのはACBACBのループの どっかのAの直後にもう1回Aっていうの を言えればいいわけ でしょということでえっと3で割った時の ありが1か2ですうんNが3で割った時の 余りがま3の倍数の時は確率まPとしたら Pが0ですえNが 13で割った時の余りが1の時この場合は え下側のループだねBCABCAの後でA って入ればいい から おえこれってもう1/2のN+1乗で は違うN+1じゃないN上ではえこれで いいのか なでNが方のも2だから3で割った時の 余りが2の時は上のACBACBの A え1/2のN 上ということ かまあまあまあかこ2Mを正の整数とする 総試合数が3M回以下でAが優勝した時A の最後の対戦相手がBである条件付確率を 求めようまだ からBって終わ るってことはどっちのループ だAはこれaとbが対戦 でAが勝ってここでCCとVSCなわけか でまCBでここでA対CでんBが勝ったA 対BでAが勝ったでCでAが勝っただ VSC一方こっちはえBが勝ったCが勝っ

たでCとA勝って今度AとBでここで vsbということで最後の対戦相手がBで ある条件確率だこの場合のうち下側の方が どれだけありますかっていうこと か うん上側が MOD3で方が2かN がん違うNが 2Nが1の時で3で割って1はあった方の え確率を求めてくださいっていう話だね じゃ上をQ下をRとするとまずQを求め たらえQっていうのはNが2回の時5回の 時8回の時っていう風に進んでいくんだ けど結局2の2乗+1/2の5乗 + てて +1/2 のえ3で割ったら2余るえこれ合っ てるなんか簡単 すぎる3M- 23m-23m-1かです とで続いてR はまあ1/2の4乗からスタートか1/2 の4乗+1/2の7乗+点点+1/2の の3M-22 ですはいということでこれをそれぞれ計算 すればいいのかなこれはえ初項が1/4 工費が 18/で項数 が えこれ3-132-1だからm とこっち は単純に1/2の2乗倍じゃないなだから 若干ずれんのか1/16か1-1/8の 1-1/のこっちは数 がm-1かそうだね最初がずれてんのか 最初がちょっとずれてるよっていうので え結局同じ部分は削れるから1/16 8/7かえ4倍の1-8のM乗=1/16 8/7え1-1/のm-1乗とまこういう 形になって求めたい答えはQ+RRの方R の方だよね最後の対3相手がBだから9+ RRの方だから 1//は結局削れ てこれ中に入れちゃうかここはえ 4-1/21/のM 乗ですよねですということで5- これ足から3/2はいm-1だ危ない 危ない 危ない5-これ今 すごく計算問題に新規をすり減らしてます うちのRの方1-1/8のm-1乗8のM 上をかけ ましょうこれでいいんだけどね本当は8の M-1乗かけることによっ

て3/2かうーん2倍したくなるか2倍 すると 312こんな感じです か 2の3m-2乗とかに する2の3m-2乗そうするとここも2の 3m-2乗-2はい一応答え出たわけなん だけどこれは後で妥当性チェックをします 具体的に言うとMが1の場合Mが2の場合 っていうのを確かめることによって本当に 合ってるのっていうのを確かめます一応 ちょっと綺麗に 書き直す はいとりあえず第2問終わりちょっと ペース遅いかな大門3Aが1から3を 満たす実数とし座標空間内の4点P1p2 P39を考える うんまあまあ まあなんかAを頑張って求めてねっていう 感じじゃない 101 101 111 1033900A1から3の範囲かでP1 Q PQP39ねととX座標との 交点R1r2R3の面積を SA直角三角形 じゃん簡単だ来たこれ はこれ掃除をたくさん使って楽しめるやつ Aだからここで掃除使ってR1のX差を すぐに求めることができます具体的には ここの長さがA1ここの長さがAという ことでこのP1のX座標が1ということは A-AAという形で求めることができるん ですさらに さらにA-1対AっていうのはこのA-1 対Aの掃除に行かされるのでP1p2が1 ここもA-AAになるん ですあとはここの長さを求めればいいです ねこれも結局ここが3 かここの掃除ここが3-AここがAでここ が1ということで13-AA当然この長さ は3-AAっていう風に掃除でベベベっと 求めることができるのでSAっていうのは 1/2倍の A下AA+3-A という風に求めることができるの で3-A で SAがA-1の23-AAの2 とよしこっから だ [音楽] ふう微分しようこれ微分すんの

かそんな時に有効なのが逆数を取る こと 逆数を取ることによって分からできるよっ ていうね アドバイス SAこれがA2のまA2-2A+1-A+ 3A2-A33A2+2A 2+5A2か え-6A-A-7Aかマあ+3ということ でこれを微分する とまこれになってえ-Aは-1+5は 消える-が+ AAが-A とまこんな感じで微分することができてA 3の -A3+7A 61入れられる ねA3のマイナスでくるとA3-7A+6 だからA 2+ A6 これが お 天才Aが1から3の範囲でこれまたA引 ん何が なんか喜んじゃったな全然喜ぶべきとこ じゃなかったということで- 312-312の逆向きだプラスマイナス プラスマイナスとということでえ1から3 の範囲では上がっ て2で下がる とこれはSAが2で最大を取るということ はSAはA=2の時 最小でその時のSAの値 は1 かの2 4 ですかね はいま後でこれうSAA=2の場合って いうのを全部求めて三角形の面積求めます 妥当性チェックは後ほど四角4お ありがとうちょっと朝ご飯を食べて チャージし ますZを複素数とする複素数平面上の 3.1ZZ2が A角三角形を必よなZの範を求め図せよと まこれは角abcbcaCabそれぞれ 考えればいいよねだからえZ-Z2- 1一旦列挙するわ-Z-Zのやつだから1 z 2-Z2-Z2だからえZと 1z+ 1- zえこれ が1-Zで割れるから101+z

はいということでこれが 全部角になればいいというわけですねま -2からの変になればいいとということで ええ1足したら1足すことによって-2 から52の範囲ということはえ -1より こっち側で-Z-1倍することによっ てこの範囲ってこと はえYY座標じゃ ない巨のこっち側 とで1+z かだ からえこれ は0–Zと1–Zっていう風に見る ことによって えっと-0と1の- Z だから分かっ た うんと分母分子-1倍すればマイナスで プラス プラスということで えっと0と-1をえZで結んだところの ところが90°以下ということは直径0と -1の円の 外側ということでここか なが答えですよ とうーんまこの問題はね難しくなさそうだ けど 例えば-1/20の時角三角形になるかな と か後ほど妥当性チェックはしていきます か1/2I 1/2 例えば-1/2+無限Iだとし て無限に 上1とここ と こここういうことよねべ べ ペ うん大丈夫じゃ ない知らん けど知らんけど大丈夫じゃないま後で一応 確認はします四角 5 おいしょちょっとご飯を食べ ながらやり ますえKをせの数とそして受信法で表わさ れた少数天下軽桁の 実数軽桁の実数 ねうんこ1つ取る1つ取るってどういう こと次の不等式を満たす性の整水のを全て 求めようああだからA1からAKは商用だ よっていうことね1つ取るっていうのは

すなわち 了解 ですA1からAKがもう与えられてい て整数nを全て求めよていう風に言われ てるわけだ けど 結局Nについて不等式評価してあげれば いきるやん10の形状を足して2乗すれば いいん でしょえそれでいい の果たして本当にそれでいいのでしょう か10の形状を足して2乗するそうする とまいろんな10の2形上と10の形状 かければ少数点が全部消えるからね整数に なるから ね えでウヘがあ10のマイナス形状がある からややこしいよっていう話かでも10の 形状かけたら1になるもん な うんの ま一応丁寧に書くかこれの2 乗え10のk+0.hAK+10の-Kの 2乗でこっちが10の2K+え2倍 のHA2点点AK でしょなんかAまいいや 伝わる やろ ふうんふんふんふんふふふふふ ふふんふんふふふふん ふふん ねこれFKとすると ふふん ふふん2倍のこれかる これ これ+10のマイナス形0.HA+10の -2 形ということ でまこれは1以下だから10の2形+2A 1AK+ 1 と足2 部分がえ0.A1AK+10の-Kの2乗 っていう風になってこれ 絶対1以下だ ねだから3未満っていう風になって+1と +2か2個出てくる ね はいNはこの2つです過去 2Pが10のK-1以上の整数なば次の不 等式を満たす性の整数Mが存在することを 証明す よ10の形状だっ たら2つあったよだからその10の形状が 半分になってもいいっていうのは大体

分かりそうだ けど こいつ 一旦なんかケートでく かだからこうし て でMの範囲がこっからここでここの式を 満たすせの整数Mが存在するってこはえ 辺が 結局え2倍のK+ Pか10の-計+10の-2だけどKがあ Pが510の- Kだからえ結局10か10の計上だから1 より大きいってことは言えればいいんだ はい言えるからいいんだ右辺か3辺これ差 取るとPが5下10のK-っていうのを 使って1以上だね範囲 が うんふふふ ふふふ んあルートスが有利数にならないよって こと か うんなか [音楽] えSが平数の 時うんとリトS引トS のガウスは0よ NS がまAKイ0だからね Sが平数じゃない時 は√Sっていうのはま無理数になるんだ けどそれを 示そうルS=PQっておいてSP2=Qの 2になって数かるノト平数が数になること はない 不敵 はいこれいいんじゃないです かま一応証明として は え全ての素因数の個数は 偶数個数は 偶数だけどSは素因数の個数が奇数となる ものが存在するということでソイ数分解の 一性に反矛盾 オ四角 6 うーん一体ねああこれ ね座標空間内の長さ2の線分ABがABを 満たしながら動く点は平面Z=0上に ある点AがZ=0だからxy平面上ねに あって天使001かこっちかがAB上に あるああ長さ2のだからこういうこと か長さにで線分ABが通過することに できる範囲をKとしてKと不等式Zダナ

これ1なから3との共通部分体積を 求めよう と東大はね回転対象性が好きだから ね とりあえずAをなっ たX座標に置いてべって一旦求めたい ところ求めて回転させちゃえばいいんです はいということでXZ平面考え ましょうCが1 か で今Z座標がZの時のこの半径を求めた いってことよね回転対称性より回転させる わけだ から うんまZは1以上2 かですま1の時と2の時最大で2でとま チェック事項としてはZが1の時は 当然0Zが2の時も当然0になって るっていうことを確認してあげればいい わけです ねこれ検算の時に使えるね0になってるは ずっていう それを踏まえ てこの半径まここラージまxxしましX うんラージXしましょうこのラージXをZ を使って表したいっていうモチベで変形し ていけば答えは出ます きっと これはうんんここラージ XここZああだめ だここZ -1ということ でZ-1対 xは Z対ま これ うーんま求めたいのX2だもん ねX下Z-1Zだとし てZの2乗 +x2下Z1の2Zの2乗 これが4です よ今ここZここがえZ-1Z倍のXって いう風になったからこれで3の定理使って これ求めたいのはxの2乗x2=え4-z 2かZ2Z-1の2乗とでZが12の時に 0になってるかって言うとなってますね 激熱 ということ で求めたい大好Vはパバの1から2まで こいつを積分したものだというわけ で展開します か -z4乗2z3 [音楽] 乗え-Z2+4z2だから+3Z

2これ間違え そうこんな計算で間違えたらやだ な+ 4丁寧にやろう-Z2+2Z+3 + ZDZえ-13Z3+Z2+3Z一旦これ を-8logZ置いとい て倍の8-1だから -73+3+ 3- え44か1/2-1だから足2 か-8.2ということ でここが え8-73だからパ倍 のの17-8.2 うんま一旦答え出たから一通り見るか一旦 ラップ 44分だ はや答えまで出したのねいい じゃんいいねいいです ね2016年はあじゃないごめん第1問は 長明だからうん見直しついでにあの方針と か言うからそれであの正解かどうか正解 だったらそのまま正解って言っていい けで喋ってる中でんこここういう場合は 必要だとか出てくるかもしんないからそう なったら自分でちょっとちょっと待ってて つっ て はい まず求めたいものを同地変形していき ます前編log 取るでlogx+1-logxを死体に する とえっとx+ 1/2小なりlogx+1-logx小 なり1これを示せばいいっていう風になり ますで えっと右辺-周辺は1からlogx+1- logxってやつを引いたものになるんだ けどそれ微分すると負になりますXを無限 ま単調減少でかつXを無限に飛ばすと0に 収束するから常に正であることが 言える続いて中辺引左辺もえ微分すると負 になりますとで極限ま単調現象でかつXを 無限飛ばすと0にするからそっちも示せ ましたよっていう 感じ うん うまざっくり大丈夫 まこれはいいでしょういいです第2問あ第 2問は違う確認する第3問第4もあ第5問 はいける わ第5問じゃ第5問もいっちゃうね 最初1もう1も多分ね合ってるんだ

けどA1A2A3AKって使って いい 一応厳密に言うとA10のK-1+A2か 10のK-2+点点なんだけどさああ0. AA2A3AKっていうのが問題分で与 られてるからAA2点点AKっていうのを 使うとするよ使って答えるよおそしたらえ 大丈夫 はい10の2形 +2か はいAA2A3AKまで+1と+2の2つ ああはい正解でか1がそれでか2がえっと Mについて不等式を解いて右側引左側やる とまPが5く10のK-7以上っていうの を使って不等式評価するとその区間の幅が 1より大きくなるのね区間の幅が1より 大きいMについては当然正の整数Mが存在 するよねってことが言えるはいはいはい はいがか2はいでか3についてはまSが 平方数だった場合はま√S-√Sのガウス が0になっちゃってまAKノ=0に反する よってダメでついてSが平数じゃない時は 要は√Sがえ有利数じゃないってことを 示せばいいうんだから√S=Pとか置いて ま2乗し て分母払うとSP2=Q2になるわけよ はいあまあS=P2Q2のままでもいいっ ちゃいいんだけどうんどっちでもいいやま その要はPの2乗とQの2乗って何かって 言うと全ての素因数がの個数が 偶数でSは平数じゃなていうことはソイ数 の個数は奇数のものが存在 する因数分解の一性に反して 矛盾よってSが平するも ダメま丁寧にやることもできる けど最後最後のなんかみたい うんえっとねうんこれ例えばルート2が 無理数であることを証明せよっていう問題 でル2Pって置くじゃんはい2乗して分母 払うじゃん2P2=Qの2乗になるじゃん うんでここでまあP=あPがQが偶数より みたいな感じでやることが一般的だけど うんうんま別解として2P2=Q2の2の 因数の個数に注目するわけようん右辺はQ の2乗だから偶数偶数個 絶対左辺はPの2乗は2の因数の個数 じゃんま0も偶数に含めてねうん掛2だ から左辺は奇数なわけよ2の個数がはい はいはいはい因数の個数が左辺が奇数右辺 が偶数でも同じものを表してるわけで素因 数分解の一位性っていうま定理があって 全ての整数は素因数分解をただ1つの形で 表すで表せるっていう定理があるからはい その数分解に線に矛盾しますっていう証明 で配り法で示せるのねだからSP2=Q2

乗っていう形にしちゃえば えっとま全ての素因数の個数が偶数なのが 平方数でもSは奇数のものが絶対存在する だから平方数じゃないわけだからねはいだ からその偶数と奇数でえ左辺と右辺で素因 数の個数が異なっちゃうものが存在する から矛盾するっていう あ感じすはいということで1と5はいい でしょうあとは2と3と4と6をちゃんと 妥当性をチェックするっていうことが 大事で え2がなかこ2はMが1の場合とMが2の 場合をそれぞれ調べれば多分いい 感じMが1の 場合Mが1の場合 こっちありえないから0になるはずなんだ よ ねなってるなってますねでMが2の場合2 の場合 は えっとどうなるかという とMが2ということは6回以下じゃん 1/2の2か 12123 1/2の2乗+1/2の5乗で 1234だから2/の4 乗1/2の4乗ということで32をかけれ ば21+2+ 82/1これを2入れた時に成り立つかえ 5か4 おお 80-377おなってそう14おなって ますねはいじゃあこれはきっと合っている でしょうただ1個注意Aの最後の対戦相手 が本当にBがこっちかこれだけ確認しない と ねえっとこれがAV vsbでBが勝ってvs VSCでCが勝ってCvsAでAvsBだ もんねAの最後の対戦相がBである場合は こっちだからRをちゃんと分母にも分子に 持ってくるうん合ってるんじゃ ない [音楽] うん合ってる わ合ってる な 合ってるもう縛られてるから勝ち筋が四角 さあこれ はAが2の時ちゃんと4になってるかって いうのを確認 しようAが2の時はえここの長さ が一応 101 111ここは2になるんだよ

ねで同じくここが2になるんだよ ねでさらにここがここも2になるんだよ ね24だから4うんなってると思わ れるさすがに合ってるか これ逆に3の時どうなるん だあ3の時無限に大きくなるなあじゃあ さすがにあってる わ 42と3はいいとしてえ4 かちなみに四角にめっちゃ表記揺れあり そうだからあチェックしあじゃあもう2 だけ2のかこ1はえっと3で割った時の 余りが012で倍はけして0の時は01か 2の時は1/2のN 乗でかこ2はちょっとお願いします はい4 は 1+zここだけがちょっと不安だ なよ 2正解ですよっしゃまあでもねこれ ちゃんとMが1の場合Mが2の場合って 具体的に当てはめてあってたからま間違っ てないだろうって いうこれ大事だよね色々確かめて実験しと くっていうか うん1/2マなさい1/2 引2はいうんこれもあってそうだね ちゃんと鋭角になってるあ教会は含まない 教会は含まずちょっとこれ終わったらお 手洗い行ってくるわオオーあと346 でしょうん3と4は多分いける3はAが2 の時SAが 4え待って一応答えそうだねSAを最小 するにえとうんAが2の時に4そうだねS 2が4ですねうんオですで四角4 はこう いうなんか-1から0にピーって縦線が 引かれててマイナ1とから0なにPって線 が引かれてて0と-1を直径とする円が あってその上側あ上下ああの境界を含まず 一応こんな感じはい正解ですよしで6 ちょっと6がね計算いかった からもう1回計算し直してみようとほら でも一旦X2乗がこれっていうのはZが1 と2の時に0にちゃんとなってるから おそらくあってんだよ ね念のため念のためZ=3/2時計算し とくか念のためねそんな必要本当はないん だけど ねしょうがないしといてやる かはい 1/2ということは1対2だ からここが3/2かでここが 4-49 742√

7を [音楽] えっと2対11倍1/6√あ6/6√7と いうことで766になってるはず3/2 入れてみよう 4-94 か 44/4ということで1/9になって てえ 64-97/9で7/6になってるから ここまではあってそうだで1から2までえ 5かけてこれを計算するんだ けどまずここの部分でZ=1を入れて みようま一応ワポイントアドバイスんあ ここここでねちょっとワンポイント アドバイスしようと思ってまX2=これ っていうのが出てZ=1入れても2入れて も0になるってことが分かってますよと これ式変形して式変形してこれこの式変形 合ってるかなっていう風に確かめるために もう1回ここに1とか2とか入れるって 同じく0になれば合ってるだろうってこと は言えるんだよねまそういう風に 検算でしたはい1はオッケー2はえ2入れ てもうんオッケーということでここまでは 大丈夫 えマイナスこれを微分こうやって積分して 確認するんじゃなくてこっち微分して元に 戻るかなっていう風に確認することによっ てこっちかでこっちかことによってま検算 もできたりとかね積分されてる積分して うん間違ってないねってやるより積分され たものを微分してうん元に戻るねていう ことを確認した方が検算しやすいよって いうねまいろんな健山のテクニックがある んで是非まそこら辺も合わせてね徹底基礎 講座見て ください-73+3 +3 +2 -2+4だから2-8ロ 283 2862まあってると思うんだけど ねあえてこれ2入れて1入れて代入して さってみるとか思ったけどまあいいかあっ てるでしょはいじゃ第6問はいこれは合っ てたらトイレ行きますはい間違ってたら トイレ行きます お願いし ます正解 よっしゃ2016年 制覇 よっしゃ嬉しいなんか嬉しくなってきた どんどんはいになってきてる気がする ね意味わかんない

よはいでいける はいということでえ2016年え倒しまし て倒したこれでこれで8年ですねあと5年 今日ははいあと5年になり ますなんかペスちゃうペース上がってるよ ねあラップあごめんでもさあんあれあ違う わ44分見直しそうそういうことだよね 見直し抜きで44分で見直しありでも1 時間ってことですよねじゃ15年分ぐらい やるいやわかんない時間制限儲けるか ああの今日何時まであじゃこの枠で終える ああ11時間半ぐらいえこの枠ってそう ごめんちょっと計算しといてくれるお 手洗い行ってくるからオケえっと12時間 以内そうねじゃないと枠あのアーカイブ 残せないからうんそのアーカイブ残せる ギリギリのラインでま多分6とかになんの か なよしはいお手洗行ってきますはいいっ てらっしゃいマイク取ったああそうだ 危ないあと充電買いとく一応 ああ念の ため 何時から始めてか わか7 時 です お待たせお 疲れこの枠は何時間ぐらい何時になりそう これ19時 前わり たいちょうどいいかもね うんえそれはああそっかそっか19時前 までにだからあと5年分解けばいいって こと 違うか5年分かまそうなりますね19時だ からまあまあまあと9時間あまま9時間に 9時間で5 問が計算に入ってい ないやろう次 行こう今ねなんか眠気通りすぎたあとね 数学の問題てるね眠くなん これ本当にそういつもそうなの数学解き ながら眠くなったことない未だかつて へえだからね試験とか有利なんだよね東大 数学とかさみんなさすごいなんか頭使って 疲れるみたいに言うけどうん本当に疲れ ないの解いてる間いや疲れてんのかもしん ないけど分かんないハトに変わってるわけ ではないハルトに変わってるわけではない あ違う入れ替わってないあそうなんだ トイレ行ってる時に双子のハルトと 入れ替わってるわけではないあの視聴者の みんながあの伝わってないからね今ハルト だろってあ言て

たそうま詳しくはあのドッキリ動画この元 と双子うんそう井田チャンネルコラボで 高野ゲと双子 ドッキリ企画があったんで是非見て くださいはいじゃあまあもう続きまして ですねはいえ ありがとう計算よし追加はい2015年 です よし来た2015もう早速行きますか行き ますはいそれでは2015年 よい スタートオま奇跡領域まこれ結構有名問題 だね第1問第2 問うーん 確率第3問ス第4問数列第5問あこれ第5 問俺答え知ってるわ ゆえ有名問題だよ第5問あそう見たこと あるでしょああ確かにこれは ね第5問答え32ですまでも後であの示す わ第6問積分 かよし四角1 まこれは正の実数Aに対して次の放物線を 考えるということでま結局Cの通過する 領域っていうのはAが0より大きいこれの 方程式を満たすAが存在するようなXYの ね条件を考えればいいもう奇跡領域なんて ワンパターンなんですよ簡単簡単という ことで4aあ4aじゃなくて4yaにした 方がいいね4ya ソリーあの ね何か落ちたはず写真が落ち たシシなんだけどどこに落ちた消えた 神隠しにあってる ありがとうソリで えっとま奇跡領域の問題はパラメーターの 存在条件これがもうねもう全ての全てです からイ4aかると4x2A2+1-4a2 とということで4倍するとこのx2-1A 2-4ya+1=0 とでえここのx2-1が正か負かとかに よって色々変わってきますね変わってき ますだってY接が1なんですものねという ことでえ上に凸だったらもうその点で絶対 に正の解を持つからx2-1が負の時 すなわち-1から1の時 オオでX2まX=+-1の時この時はえ4 ya=1っていう風になるわけだからYの 範囲がどうなればいいかというとY=0の 時はダメYが正の時はオッケー はいこの時はオッケーこの時はこれでえX が逆に-1より小さいはたまた1より 大きい 時この時は はい端点軸判別式をやっていく端点は正と いうことで軸

が軸4×2-1の2yこれが これ が0ければ いい かつ [音楽] えっと判別式4y 2-4倍のX2-1 これがせ0以上ということ で えx2-1今正だからねX2-1が正だ からここYが0大きいかつこれ は双極線とx2-y2 乗引ん-y2が小な=1ということで通し し ますえ-1から1の 範囲これは常にオッケーこの範囲は常に オッケーで-え1と1の時はYが0より 大きい時ここがオッケーでえYがんこの 外側の時はYが正かつx2-y2小な=1 ま えっとてて前金線を書いて前金線を書いて まここが1ここが-1なわけですがこの 前金線のここです ねここをこういう風に書いてここをこう いう風に書い てこれが小な=1ってことはx が ん非連続だなそんなわけ ない非連続なわけがないから なあ符号を間違えてる符号間違えてい ます符号を間違えてい ますどこ でしょう [音楽] ん符号間違えてるよね 絶対いやこんな疲れてる証拠なのか 果たして 果たして疲れている証拠か いいえ全然そんなことありませんでし たちゃんとえy2乗大なり=x2-1なの で全く非連続ではありませんでし たここですね で教会 はえ含むところ うここは含むな ここは含むここは 含む含まない含ま ないだからこことここだけ含ま ないでよろしいのではないでしょう か はい第1問終わりえ第2 問変なとこで手まってしまった などの目も出る確率が分のサイコロ1つ 用意し次のように左から順に文字を

書くサイコロ投げ出たが123の時は文字 列Aを書き4の時は文字Bを5の時はCを 6の時は文字Dを 書くさらに繰り返しサイコ投げ同じ規則に 従ってAABCDをすにある文字列の右側 につげて書いていくなるほど 25634だったらAACDAA Bうん左から4番目がD5番目がAである Iseeのせの生とするn回サコを投げ 文字列を作る時文字列の左からN番目の 文字がAとなる確率を求めよう と確率全科式です ね確率全科式 ですということでA1とA2その他に分け ましょうまこの思考プロセスとして はま前のやつにつげてくっていうので機能 的にあの数列が定まるということで確率 全開式だろうなとでえっとAの左側とAの 右側を区別することによってA1の次は 絶対A2が来るA2の次は確率的に求まる みたいな感じであの求めることができる からいいんじゃないのでしょうかっていう 発想 ですN番 目N+1番 目でえA1となる確率A2となる確率その 他まBとCとDはね1でいいんですこれ はA1をPNqn1-PNqnいう風にけ ばPN+1qn+1にたどり着くためには えA2のqn+1っていうのは明らかA1 の次これで 確定 です逆 にPN+1にたどり着く方法は2つあって え2つあってというかその他A2だろうが その他だろうがA1にたどり着くために は3/2の 確率1/2/2の確率でPN+1にやって くるんですということでqn+1っていう のは絶対PN一方でPN+1っていうのは 1/2倍するところ の1-PN あらPNすぐ求まるじゃない の PNっていうのはえ-1/2倍 のN-1乗 え1/3 かん1/3だよねだから+ 13ま13AP1pって何だP 11番目の文字がHとなる確率1/2だ から 1/6これです ねこれがPNということでAとなる確率は PN+qnなのでまこれえっと1/3倍の これ1/31/2っていう風にすることに

よって中に1個入れることができて1- -1のNまこんな感じでしょう かPNがこれqnはPN-1だから1倍の 1-1/2のあ-1/2 のN-1 乗足かPN+qn=13倍の 2-ここっちをマ1のN2 -2っていう形にすることによっ てここがマイナスマイナスでプラスになる わけじゃんねなりますよねで引くから足- 1/2のN 乗みたいな感じになるんじゃないでしょう かこれが困った時はN=1と2の場合を 考えようN=1の時1/2そうだね最初A がAAが出ればいいからNが2の 時2+4 え 34これは最初1/2ま123を出すの 1/2かそれ以外出して1/2か1/2だ から合ってるまあ合ってる でしょう1 2Nの2以上のとするn回サコを投げ文字 列を作る時文字列の左からN-1番目の 文字がAでかつN番目の文字がBとなる 確率を 求めようだ から9N-1下2ではあ1/2ではあ違う 1/6だBだ からN-1番目の文字がAでN番目の文字 がBということはN1番目目の文字がA2 ということが確定してこのまでの確率が9 N-1でN番目の文字Bが出 るっていうのは1/6の 確率ということ でこれに1/6かければ 1/181–1/2のN-1乗 と [音楽] うーん後で復習Cを復習じゃない検算Cを とりあえず先 進める よし大門 3Aを正の実数としPを正の有利数有利数 さ表編上の2つの曲線はこれAXP乗とY =logxを考えるこの2つの曲線の共有 点が1点のみであるとしその共有点を9と するうんA及び天球まあまあ まあよくある問題ですねY=logxとy =axのP 上こうじゃなきゃいけない ね ということでここで接する場合 えatうんと接点をTみたいな感じで 置く違う点のXあそうだねとくとAXT= logTかつ微分したAP

あ何やってんねん何やっとんねんATP上 だAPのTのP-1= 1だから結局AP のATのPこれTかけたら下P=1だから ここはlog TPlogTTがEのP乗 かA はここにベって入れればいいん だTがEのPだからElogあEeep か eepま検算をするとすれ ばここにEの 乗っていうのを入れてみ てえy=eepxのP乗だとしてEの乗を 入れればえEでP オッケーうんあってそうです ねあってそうですねま微分して も うん合ってるということでTとAが求まり まし た過去2この2つの曲線とX軸で囲まれる 2つの曲線とX軸とで囲まれる図形をx軸 の周りに1回転できるしてできる一点体積 をだ からえPiの0からEのP乗 までa2xの2P乗 引くあだめだ引く1からEのPうわめんど くさ うわあめんどくさかっ たえーめんど くさ下eの2Pの 2でこれ がま2P+1xの2P+1 うわあめんど くさい引5倍 のまずこれが出てくるとでこれを微分する とえ2倍のXlogxが出てくるという こと で-2xlog xまずこれを計算するそうすると えーマナス2が出て くるということで+2x と早い 素晴らしい素晴らしいですね今の時短術0 入れたら0だからEのんEのPP+1eの 2乗で約分されるとEのPだけが残る5倍 のP2のP22P+1 のEの p-5倍 のlogxまこれ一旦微分して戻してみる かlogxの2をx下ま2xlog x2logx-2logxで-2うん合っ てるよね合ってますえEのPを かだからP に

引2Pおお 違う2EのP の+2倍のeの- 25でくってEのP乗のこがあります と-2パ一旦だす かあ+25か+25一旦出してあげて+ 5/のEのP乗P22P+ 1- p-+2です か違いますマイナスの符号注意しましょう マイナス プラス マイナスこういう風にねちゃんと注意し ないとだめです よ22P+12P+1ここが結局1が消え て-2Pだけが残ります-P2P+1 の2Pだけが残り回たから2になるだね -2+ P 2P+1とことでP2P+124Pおお 消え てく本当 に4p-22P+ 14-4p-2-4P+ 2うんうん2パあだから5でくるか5で くんなくてもいいなPiでくんなくていい や 2-2P+22p-1EのP 乗 えかこ3年 うん5秒でけんのねかこ3これガチでも なんでかこさんがあるかっていうことなん だ けどかっこにめちゃくちゃ計算汚いのね うんそのめちゃくちゃ汚い計算でこれ本当 に大丈夫かなって不安になってる受験生の ためにそれでいいんだよって背中を押して くれる問題だっ た立体の体積が2パになる時のPの値を 求めようって2パっていうのを比べると ここが0になればいいのかっていうのが すぐ分かるようになってるから多分計算 そんなに間違ってないんだろうっていうね 安心感が得られる問題ですねへえ優しい 優しいけど本当に合ってるかどうかわかん ない後で計算し直さない と四角 4 参考完全化式変なのえ過がこれがレによら ないことを示すだから まあPN+22PN+1PN+2の2乗+ PN+1の2乗+1これがPN+1これと 等しくなるってことを示せばいいのかなっ て いうとりあえずね今

ね考えるより先に今一旦手動かしてみ た あだめ だ 眠くなってきたPN2乗+1で割れるね 素晴らしいPN2乗+1で割るとPNPN +1と1+PNだから んごめんPN+2の2乗だからこれの2乗 かま割れることには変わりないんだけど PNの2乗PN+1の2乗+ 1ってことだということでPNの2乗分母 分あるとPN+1PNでPN2乗ああうん はいNによりません後頭式ですはいで1と 2を代入した場合は22/の2乗+1の2 +1すなわち 3に高等的に等しくなりますよってことが 言えるわけ か素晴らしいじゃないです か全てのN=234に対しPN+1p+ PN-1をPNを用いて 表せだから全部3だから一旦PN+1の2 -3pN+1PN+PNの2乗+1が0と これが絶対成り立つよっていうことでまあ PN+1とPN-1うん並べてみよう なんかうまくいきそうな感じする 差を取っ てなんかどうせこうやったらうまくいくん やろみたいなノりでどんどん手動かしてる けどこれは本当にうまくいくのでしょうか PN+1-PN 1PN +PN1あ違ったP2消えるわほら何も 考えずに計算する からほら何に計算するからそんなことする からああ 一応あ言えるわPN+1っていうのはP PN+2っていうのはあPNあ違う わ [音楽] うーんん-1 ね一応PN+ 1とPN-1がノ=0っていうことさえ 示せるば割れてPN+1+PN-1が3 PNということが言えるわけだけどPN+ 1とPN-1がノトイコールですっていう ことを実はちゃんと示さなければいけませ んしかし これはこの式 より言えるんじゃないでしょう か言えてください [音楽] 52大きくなってくもん な じゃあ分かったPN小なりPN+1の時 PN+1もPNあPN+2よりPN+1の

方が大きいってことが言えればよくてPN +2っていうのはPNPN+1の2+1= あ台 なりああ0小なりPN小なりPN+1で いいや こうすることによっ て [音楽] P あれこれをPN+1に置き換えようと思っ たんだよ なでも大きいのにしたらちあいいのか 良かったん です良かったんですはい単調原単調増加を 示すことができまし たねできましたということで3PNと過去 3ひな数列 おもろ本当か 125 13169+1170÷534お 112358132134本当です ねすごいです ねこのPNっていう数列がまこれqnは フィボナッチ数列なんだけどQNの フィボナッチ数列の数番目のこを選んだ ものがこの数列によって表され るっていうことだとてもすごい ですまとりあえずPN+1+PN-1が3 PNっていうのを絶対使うわけです よすなわち えっと これを示せばいいんだ92N+Q2N-2 =392N- 1 なん でなんでかPN+1=3PN-PN-1と いうことでP1とP2が決まってこの全科 式が成り立てば当然数列は1位に決まり ます とだP1とQ1p2 とQ3が成り立つことをここでもう示し てるからまずこれを前提として この全科式が成り立ったら機能的にPNが 1に 決まるでQ2N-1っていう式が完全お えっと同じえ式になるのであればQ1とQ 3っていう初項が一緒で かつQ2N- 1 違うん違うわ違う な違うわ全然 違うPN+1はQ2N+1だもんだからQ 2N+ 1Q2N+1 =3倍

のQ2N 1-Q2N3であればいいのかこれを 示そうしましょう はいどうするかと言 とまフィボナッチすれんだから地道にやっ ていきましょう よQ2N+Q2N+1えーここ が292N-1+ 92N- 2上 あ成り立ったよかったこれQ2N-1-Q 2N-3 かだってこれ+これがこれだもんねという ことで39の2N1-Q2N-3という ことでえ同じ形の数列で初項も等しいから 当然数列は一緒だよねってことが示された というわけでござい ますよし あ ニヤニヤニヤニヤM=32ではあるのです がとても簡単です2015 CMこれはMが1増えるごとにどうなっ てくのかていうことを考えていきましょう と 12015か 24ま要はmの値が1増えるとまMが1の 時はこれMが2増えるとあ2になるとこれ がかけられるMが3増えると233かけ られるまこんな感じで増えていきますよね とで初めてMが偶数なるためにはこれが 奇数奇数奇数奇数っていうことで結局え 2016- M Mこれが初めて偶数と なる偶数になるっていうようなMを求めて あげればいいよとでそうするとねM 206-MってM 206で2016をね平あえっと素因数 分解すると4か 5416 12632下63だ2の5か7下9なん ですよということでMがね1番小さくて これ全体が偶数になるってことは2の5乗 下7のか9が奇数になればいいとという ことはまあのこの2の5を約分すればいい からMが32が1番ちっちゃい時ですねっ ていうのでMが32 です 素晴らしい 大門 6積分 だ一応続き過6の括1Nを正の整数とする 関数GXを次のように定めるとGX= これはいFXを連続な関数としPQを実数 とするXの絶対値がN以下を満たすXに

対してFXがPQ以下が成り立つ次の式を gnxFXDXが-1から1N PQうーんまとりあえずパッと見て思った のがGXってXの絶対値が1より大きい時 0になるっていうでうんだから要は1より 外側のやつは全部無視していいよっていう 優しいです ねということで優しい からgnxを見 てNX=Tって1回置いてみようか なてかNX=Tって置いてくれっていう 伏線がね ndxで DTま一旦置いてみようNX=Tと置く この場合えndx=DTということ でま中辺っていうの がxが-1から1のは-NからNまでG T FああTTっていうのが出てきちゃうのか DTなんだけどなん と素晴らしい このGTがだからGXがxが1の外側に ある時は0になるから結局-NからNまで の積分って-1から1までの積分っていう 風にまちょっとTをまたXに戻し てこういう風に変換することができるんだ 嬉しい な えしかもx小な=1/あZ値が1かを 満たすXに関してP上9以下が成り立つ からこれがP上9以下だ必ず挟み込める GXは2cos5x+ 1はい常にせだいけたいけまし たということで中辺っていうのを挟み込む と-1から1までP倍の22cos +5X+1DXから9倍の2cosx+ 1これを挟み込んばいいの でcosPiX+1だsinPiX+1ま これって えー平均すると1だもんね高さあでも半分 にしてるかだから半分にするから平均の高 さ1/2で-1から1 でしょ1やんはいPから Qかこ1割りかこ2関成HXを次のように 定めるうんうんこの時次の極限を 求めようま絶対かこ1 のハミ打ちの原理使え そうハミ打ちの原理使うでしょうきっとね うんまあまあまあそれはさて gnx FXnの2 乗 [音楽] うーんだ からあれです

ねGXを微分したらHXになっているこれ を使う な だから部分積分法 か部分積分なのでえ-1から1N倍のGX あ gnxこれをえ微分したものかるlog1 +EのX+1乗DX とのN倍こういう風に まだからHXがGXの微分になってるって 気づける ば部分積分使うに決まってるもん ね hnx ねこれLいりませんgnxの微分Nhnx とNでN2でこれということ で結局N倍するところ のまいいや gnxlog1+EのX+1乗1から-1 まで入れます引N倍の-1下1 gnxでこれの微分がえ1+EのX+1 のEのX+1 乗 DXなの でこれをFXという風に置くことができる いう話です ねNを無限に飛ばすわけでしょだから限り なくXがまえ近づくわけだから結局これ の え0の時の値 1になるとでこっち は ngnあそっかGXあ0だGN全部0だだ から結局こっちだけが残るんだ-2倍N倍 のまN かる gnxえ-1+EのX+1乗EのX+1乗 っていう形にしてあげることによっ てこいつをFXっていう風にできるよと デラッのデルタ関数の話をしてるんだな 結局FXかけたらF0を抽出でき るっていう話です ねそうではないでしょう かなので答え-1+いだちょっとずるした けど大丈夫ハミ打ちの原理使えばできる からだって 単調単調性はないけどこうやって挟めば 十分にちっちゃいこれでぺってあのハミ 打ち使って-1さEにできるなオ はい見直し [音楽] タイム あ合ってそうだったら順じってくわあ第5 問 32これは絶対合ってる正解

ふー第1問はね簡単ではある けど1個懸念点があるとすれ ば懸念点があるとすれ ば領域を含むあ教会を含むかどうか です確かにって感じ何も言わないっすよ やっぱそう何も言わないっすよこれ教会 難しいよねね言わないいす こういう時はx=1y=-1とか入れて 含むかどうかっていうの試して みよう-1=A+1/4-4a2 乗から4a2が消えるん だAだああなるほど Xが1の上にあっ たらy=4で確定するん だそりゃ上側しかないよ な う絶対くあるわ よしということ であとは えー2と√3ぐらい調べとく か 2と√3√3 =4a+1-4a24√3a=16a2だ から12A2+1お2√3A+1の2-1 の2乗ちゃんと正になってるじゃあ四角1 言い ますはい まずに言う とぴょんフュはいそうですねじゃあ細かく 言うとはいフは-1から1はいでヒはy2 =x2- 1はいでその えっとヒの内側これの 上側内側上側で次教会について言うと はいここ大事す よについて言うとはい [音楽] えっと あれあそうそうそうそうそうそうそうです はいまずひょのところで言うと はい含みませ んなるほど でヒのとこに言うと含み ますじゃあそのちょうど真ん中の-101 はどうなのかっていう話で言うと はい含みませ ん 正解まあまあまあ別に難しい問題ではない からねこれちなみに言うとそう単純になん かこう緊張するっていう正確にちゃんと 答えられてるかなっていうの緊張するから ねまあまあまあ良かったです え悪くないんじゃないでしょうか 素晴らしい うんでえかこ1についてはNが1の場合も

Nが2の場合も調べまし た はいだからきっと合ってると思い ます本当ですか期待していいんでしょうか 期待していいんじゃないでしょう か期待していいですか期待しましょう 一応N=3の時も調べる わちゃんと念押ししてくるN=3時は 3/8 + 1/4で5/になってる と でこの3/っていうの はえ1/2来て1/2くるの1/4 か1/か [音楽] 1/2241/21/2/21/41/8 で3/と え1/21/2の1/4うんオッケー合っ てるじゃか1だ言うわ一旦はいあ表れある かもしんない13倍の大きく括りますはい 中括弧ねはい2プラスはいかこ-1/2の N乗ですかこ -1/2のN乗 うん正解 よしでこれね実はねうん策略でかこ1が 合ってると分かった後のかこ2の検算は 簡単 要 は9N-1下1/6を計算すればいいの でま一応ねNが2の時も確認しとくけど ちょ待っ てそれはいいのか11確認してから2を 検算するのはいいの かちょっと待って はい 待ちますよん待たない方がいいですか待ち ます逆転し てるあ場合はきるよね これNが2の時はありえない もん1番目の文字がA で2番目の文字がBありませんNが2の時 0 ですNが3の 時 1/4これ は 1/2か 1/6 うん N-2 乗マイナス2乗 だ ほうこれ疲れてる な健山はね本当に

大事これはねみんなに言いたい 健山は本当に 大事健山するかどうかで本当に変わります ということでかこ2番行きますはい18で めっちゃくくるはい1マイスはいかこ -1/2かじのはいN -2 場のかこ都人かこ人です ね正解よし最初N-1にしてておた危なで 健山してうんあれなんかずれてんなうわ ここずれてたっていうの気づいたあ なナイスけん算ナイス けさ か1四角3 番じゃちょっと待って一応もう1回計算 するわいや括1は絶対やってるT=あT っていうのあA= eepでQのXはEのP 乗EのP上んEの乗 はいでかこ2がちょっと計算鬼畜すぎて そうだね答えやばい でしょ結構やばめです ねからもう1回確認するわ一通り はいいや大丈夫 だ大丈夫 か大丈夫 調べわかんない よ大丈夫ですか そんな顔を見られても何も出ないです から ひえ 合ってると思うんだよ ね-2logxじゃんでこれあプラ2 logxじゃん微分し たら うんでXで相殺して 1-2+ 2xうん相殺されてるEのP乗から1 でしょ1っていうのが味そちゃんとここ ああこの引に忘れないでねっていう メッセージかうわ確かにやり ああ東大 の東大のからのメッセージを感じ た受け取った よマジで試験通じて教授と コミュニケーション取ってるんよな ありがとう誰か知らないけど優しいこの 問題制作 者えっとね今ねどういううんメッセージを 受け取ったか言いますはいお願いします ちょっと待って はい んここまでは良く てえ-P1/+P- 2ですよ

ね る これはねP12ぐらい入れた方が早いな 気づいた1入れる と -31入れると2オッじゃ2入れて みよう-52入てみよ 56マイナス オ合ってるはずじゃ一旦かこに答え言うね はいまず2パはい引 えっと5下EのP乗でくれるこがあってま まず2があってはい引EのP乗かえ分母が 2P+1分子が22P-1過じ です表 揺れちっちゃかこ3が はい 1/2合ってますよしじゃかこ2いやでも ねかこ2は2 パまずじゃ何がメッセージだったか伝える わそういう ことはいお願いし ますあのあ多分その計算よしやった方が いいかも あごめんごめんごあでもいいよ けるえこれだよ ねそれ俺ね オま表記売りあるわな そりゃあ うんこ あれ 違うえちょっと待ってちょっと待って ちょっと待ってえ待たない待たない待た ないまたないまたないまたないもうこれは ないですよちょっと 審議 あもやっぱやっぱ俺の頭がやばいんかも しれない1 回じゃえ後回しにするはいじゃ4と5と6 行くちょっともうわかっ たちょっと その間審議しといてもらっ て4のかこ1はいちょっと待ってああ ごめんごめん 4の括1はい [音楽] えPN+1PNPN+12+PNの2+1 がNによらないことを示せということで その関数を例えばqnとあqn後で使わ れるからまFNと置いたとしてFN+1 っていうのを求めるわけよはいでPN+2 にベってそのPNPN+1の2乗+1って いうのを代入してごちゃって計算すると うんうん同じ形になったっていうのが括1 の示し方です うんそれは機能法用は機能法ってことなん

だけど機能法うんまあの機能法というか 全科式かなあ9N+1=9Nっていう全科 式を解いたらqn=定数になるよねていう ああなるほどね別に機能法だる必要はない そういうことね うんはいはいでかこ2がえ3 PN正解で各個3が えっとまPN=Q2N-1を示せ でまず初項と第2項ま91939597 点点とP1p2P3p4点点それをえ2つ 並べた時に初最初の2項が一緒ですとで その上でPNの方はえPN+1=3PN- PN-1が成り立ってるっていうのがかこ により分かってるとはいでかこ3について もフィボナッチ数列のQ2N+1とQ2N -1とQ2N-3要は2項機のものについ ての全科式を立てると全く同じようにQ2 N+1=3Q2N-1-Q2N-3って いう式が立つと つまり最初の2項と えその最初の2項と3考間全科式が一緒 だったら機能的に全てのPNとqnが一致 するよねっていう議論 ですはい大丈夫かなまこれは別に示せてる から もっとで四角後32四角5はい四角532 ですま一応こうやって解けますあまあいい や四角6はいかこ1 はNX=Tと一旦間積分しましたNそう するとはいえっとGTを含むまGXを含む 関数が出てくるんだけどうんGXっていう のはxがマま絶対値が1の外側のところで 高等的に0になるからえっと非積あうん 積分区間が-NからNに直間積分したら 変わるんだけど結局-NからNが-1から 1に圧縮されんだよね-1から-Nと1 からNは無視できるからということで-1 から1の範囲でGX下FDXっていうのを 積分してくんだけどFはえまXが-1以上 1以下の時Fあ-/からFNの間だから 絶対にPからQの間 とということでまずGXを-1から1まで 積分すると1はいかP以上とかQ以下だ からPからQに挟まれるよっっていう 話要はえっとポイントは gnxってやつがいるんだけどうんこれが えっとじゃ間積分しなかったら-1/から 1/の範囲しか考えなくて良くな るっていう話うん間積分したらマNX=T とおいたらTの範囲が-1から1の範囲 だけしか考えないよくなるっていうこと っていうのとじゃその範囲でGXを積分し たら1だよねっていうのを使っ てあとはFま常に正だからFXのPとQで 挟み込んで計算すればPからQ

へえ全然違う方法そうだけど回答例より うん早そっていうか回答例何やってるん だ待ってあ- 1-1+ E えマナスあそうそうそう1+E下 -1正解 オじゃあちょっと待って6の括 1あやってること一緒そうなんだまあま えっと痴漢積分したかしてないかだけああ ございますした方が見やすいかなと思って しただけありございますあ うん よしさてさん さて疑惑の四角さんでしたはい はい審議の 結果 ああ 審議の結果 はい合ってますあ良かっ た一応なんかしえ待って照明じゃないけど うんあ計算あれするしよ ああえっと パわからんなんか もう合ってるわっ た2p-1の中を入れ替えて2を2パにし てるから合ってる合ってますはいよ ありがとうございます危ない危ないすい ませんちょっともう数字が見えなくなって きまし たいやこれね あの回答者もそうだけど再テシ過酷だから ね いじゃないよなちなみにえっと良かった とりあえず良かったとりあえず良かったと いうのか終わってくれて望むのかこれは 己れとの 戦いじ別に僕はあの終わってくれと思って あの疑惑かけてるわけではないえっと採点 者からのメッセージは うんここ2xま積分めっちゃして2xが あるんだけど これ基本下の0入れたら0になるし1入れ たら01入れたら0なんだけどこの2x だけ1入れたら2残るんだよねこの2残 るっていうのを忘れがちでしょっていう うっかりなんか00っていう風にしちゃい そうなところをいやここだけ2が残るんだ よっていうのをあのねかこ3がなんて言う の積分した値が2パになるようなPを 求めようでここに2パがこの2のおかげで それが一瞬で求められるようになって るっていうまそういう話でした再転車から の メッセージ下のその積分したやつのさ下側

の積分間の下側代入してさうんほとんど0 になるとようんうんだからなんかあ00 ってやってしまいがちなところ1か所だけ 2が残るっていうちょっとなんか いやらしいんだよねいやらしいねその2の せいでだから2パっていうのが出てくるっ ていうはいはいはいはい話でしたはいと いうことでえ 20001年を倒しまして え9年討伐しました イエーやさて次は2014年ですか 2014年ですこちらは俺が受けた 年これは生けるでしょうこれはなんならは ね数ヶ月前にやってたからねそう うんはい2014解説しながらやろうかな やばいってマジ で はいはい2014年の第6問だけね答え なんとなくね頭ん中である放物線があって なんかこうWの形になってんだよねうん ごすぎはいえ行けるなんえ飯くつちゃうわ トイレ行くつたっけあもう行ったあもう 行ったんうんから大丈夫よWhenオあ 一応仮眠大丈夫ですかて一応聞いとく ね大丈夫 オッケー ネクト2014年 デン 2014年ははい僕が受けた年ですねそう ですねで僕はえ2014年は第5問かな うんがあ違う第4問のかこ2でちょっと なんかうん引っかかってしまったとうん いうわけでまそこ が今回乗り越えられるの かまあの数ヶ月前乗り越えられたけどあの ね2014年ね確率の問題だねうんこの 確率の問題が油断するとね頭ここががると 思うだからここの眠い中ちゃんと正解 出せるのかっていう話なんだけどま出し ますなかやりますはいでは2014年あ ラップ押してなかったしったまあまあまま まままままいきましょうでは201 2014年 よい スタートしゃ まず第1問はいまこれねこちらの問題です が3点pqrをまこのopqrが同一平面 上にあるようにとる四角期opqrの面積 をSと置くとあるのですが大事なこと opqrが平行支援形であることでOP ベクトルとorベクトルこれが分かるので あのねベクトル表できる平行形の面積って いうのは計算できましたねなのでこれを 座標空間でOAベクトルOCベクトルOD ベクトルまこれXYZみたいな感じで置い

てあげることによってえOPベクトルて いうのが一辺の長さが1だから 10tanアとorRベクトルっていうの が 0 y座標が1Tベとまこういう形に変形 できるわけですということで面積Sって いうのは1/2倍 のえOP1/2√のOPの2乗だ1+ tanアの2乗orの2乗だから1+Tベ の2 乗やばい頭回ってないのかもしれない1+ T2 1+T2ベで引内積すなわちtanア tanベの2乗と 結果1/2倍の√1+tan2ア+tan 2ベになるわけですではありませんSは 1/2はちょっと待ってやばくないか 三角形なので えSはね平行変形の面積だから1/2倍 する必要はありませんねはいこれが答え ですか1番で括2番+ベが5/4S= 6/6時Tア+tanベの値を求めようと まこれによってねまあの連立方程式が立て られるわけですア+ベが5/4かつSが 7/6これ=76/6ということはtan 2ア+tan2乗ベっていうのがま31 ですよ とまこういう風にね表せることができるん ですがえ今Tア+tanベの値を求めよう ていう風に言われてるわけですよねうんと いうことでま是非ねこれ見て欲しいのが tanアとtanベをまラXラYみたいに 置くとなんとこれtanねまtanに直し ていきたいからtanア+ベ=1で1 -えま別にいいんだけど間違えてるわけ じゃないんだけどtanア+TベをラX tanアtanベをラYみたいに対象式で 表すことができて1-yx=1とね1枚 タンタンタプラタンアンドこっちはx2- 2y=3/6とまこういう風に えま綺麗にね対象式で表すことができるの で今もめたいのはラXの方だからラy=1 -xを代入してラX2-2+2x= 3/6移行してラX2+2X-6675= 0だ からん56と15は ダメ3と 2585じゃん 5と17かということでラジXはまあの正 の方なのでままえ5/6の方かなラX= 56でラY=1/6っということが分かり ますよとまこれによってア小な=ベなわけ だからま足して5/6か1/6その2つは 31/2なんだけどtanアはちっちゃい

方1/と逆にtanベは1/2ということ が分かるわけ ですということで答え合わせ 四角1だけで行く多分合ってる から多分合ってる油断は金物だなでも 大丈夫 Sは√1+T2ア+T2ベあ全部√の中ね でかこ2がtanア+Tベは 5/6でtanアが 1なぜわかる こ5 分まあまあまあ第1問はこんなもんです わはい四角にいや四角あ資格じゃね簡単 実際Aを自然数の提出とするこれはね確率 化式の問題なんですけどいかにね正確に 状況をあの 読み解くか整理するかこれが大事ですまず 最初に何が入ってるかというと白玉A+に 赤玉が1個入ってるわけですよねでま操作 を行っていくんだけど操作白玉を取り出し た時は無条件で白A赤1になると逆に赤玉 の時っていうの はえ袋Uの中身はそのままにするで赤玉 ってマでも1個しかから結局赤玉を 取り出したら次必然的に白玉をあの 取り出さなきゃいけないわけですねうんと いうことで えっとP1はって言っ たらn回目に取り出した球が赤玉である 確率をPNとする とま最初白玉がA+2赤玉が1個入ってい て1番に赤玉を取り出す確率は当然A+ 13ですねでは続いてP2を求めていき たいんだ けどま あの赤玉を取り出すためには直前で赤玉 取り出されてたらあのもう袋戻さずに白玉 しか取り出せなくなっちゃうからえ絶対 白玉赤玉の順番になってるとで白玉 取り出す確率はA+A+2かえこれが白玉 を取り出す最初に白玉を取り出す確率そう すると白玉A赤玉1個になってるわけだ からA+1倍すればいい とということでA+1A+3A+2という 風になるわけですはいではか2番Nが3 以上に対してPNを 求めようという問題 でまこれに関してはえっとが白玉A個と 赤玉1個 の大丈夫 スマホの 充電ま今 ちょっとトラブル中であとごめんそれ取っ てくる 欲しい

センキューそうこれ抜いたら結局あれあ しかそういうことそっちから急電っていう かまあれだな普通に続接続用ああこれない と通なくなっちゃうもねそうだねまあでも 一旦充電するしかないかなこれでも言うと さこからさusbc入れれば充電からワチ ワ ない要は消費電力が上回ったってこと かして絶対スマホ今熱い でしょこっちにはさしてこっから普通に iPhoneどうあそういうこと変わら ふまとい解いちゃうあうん手元映なくて 平すいませんちょっと根元一旦ちょっと 回復させるのですいません今ちょっと原が 頑張っめ頑張り ますかこ2えPNを求めよっていうことな んだけどまだから白玉a子赤玉1 個うん うんまNが1の時白玉A +で絶対白になる と あそう かだ からXとXバっていう2つの事象がね [音楽] ええ 頭いやこじゃない うんでA+1/ と んということでNが3以上に対してPNを 求めようっていう問題なんだ けど別のねqnっていう確率を求めるのが 実は1番良かったりする というわけなんだが qn+1=1-qn+qnかこれはA+あ Aと 1A+1の白玉を取り出すAとということ でえ マイナスA+1qn+1これを解いてれば いいからA +A+ 2qn+1-A+A+1だからqnが えA+2A+ 1 プラス 92-ま91引でいけんのかまでも92- ま91引でもいけるなどっちでもいけるな 92-ま一応92引にし とこういや91引で いこう結局92引にし たA+AA+1 の えっと-A+1 のN-2とでQ2って何かって言う とここで白になる確率ということ

で白A+ 1/3白がA+A+ 2A++ に うん発し うん DET はい はいこれでいけるんだ けど一応念のため1の時と比べてやりまし た とA+ 1/3 うんこれでいけてる はずということ で んあA+2/2だ はい今もう戻っ たあやまだまだ かとりあえず今んところ 2の2 でqnを求めたんだよ ねでqnを求めたらPNっていうのはん PNは赤玉を取り出す 確率PN=qn か え赤玉を取り出すからA+ 1ということ で かえ2がA+1/ +あ 1-A+2A+ 1/3-A+1/のN乗みたいな感じに なります とでか3 がPNが分かれ ば足し て平均取ればN+1/2という風になり ますよっていう話だ ねで四角 3え括1 がx2-2u+u2+u2x2-2u+u 2+u1= 024D=Uの2-2uの2-2u+2= 0Rが0より 大きい共有点持つかU2+2-2だから 結局-Aが-1-√3Bが-1+√3とか 2 うんC1とC2の共有点ね つまりおUの式で表せ はい結局これの2点がX1X2ですよと いうことが分かってるわけだから2倍 のX1 かこれどっちも-x1の2+と-x2の2 +1っということ

は-x1X2+x 1-+x1の2x 2-x2と2倍のえx1-X 21- x1x2 ということ で はい ほい今1パーだから多分充電の速度遅かっ たらでX1X2 ま2倍 の2B+-√DだからA√Dだからか2√ D24√Dの2 倍√Dだから √Uの 2-2uの2-2+2U2-2+2 かだからここがU2+u+1という形なの かなま丁寧に書くとこういう風になっ て3AからBまでの 積分まこれは-2U- 2っていう部分 と-2 倍え-22+ 2これ-1始め動かしたら偶関数関数で なんかもっと楽できそうな気がするるけど な楽できそうな気がするけどまあえてする 必要もないけどね うん相手する必要ないかもしれないけど するかマイナス U2+ 1+1で数 3ということでU+1をなんかTみたいに 置いてあげるとUがTうんT1の2+T1 +1T2-2T+1+T1+ 1T2- T+ 1yの√3-Tの2 DTでTの範囲がえ-√3から√3という 風に変わりますよ とということでこれ偶関数 あ結局ほとんど楽できないのか2倍する ところの0から√3までえT2+1から√ 3-T2乗の積分っていうのを求めていけ ばいいからえT=√3cosシまsinシ で置いてあげれば2倍の0 [音楽] から√3sinシだから3sin2シ+1 下√3cos シ√3cosシDTとDシとということで ここの部分が3cos2シになるわけなん だけど2倍のえQsin2うん3sinシ cosシの2乗3/2sin2シの2 9/4 1/2-cos4 シプラ

3/22+cos2 シこれの 積分 でえcos4シ結局sin4シもsin2 シも0になるから結局2倍 の98まか8/+ 34/の え68 15ということ で これで合ってるか な ん3個3常子た 93 [音楽] うん はいこんな感じですか ね ん ああ2か2 9/8と オッケー後で1を確認する けど四角 4か 1Xが0から1の時FXが0から 1まこれは最大最小に着目 し せということ でえ結局PとQを動かした時にまXもせな わけだ からPが0の時X+1- XFXの最小値っていうのはま最小値だ から0+0でしょ うん最小値っていうの は 90+0で0なんだけどFXの最小値って いうのはえx+1-xっていう風に変換 することができるとま1-Eの-QX上が 1より小さくて0より 大きいっていうことをちゃんと使えば問題 なく証明できるとかこ2 番えこれがね実は奇問だったっていう話な んだけどXN =え 1-pxn-1+1-X1-Eの-Qの XN-1 となんだ けどまこれ が1-えEの- QXっていうのがえ-9x以下というのを 使ってあげることによって不等式評価する ことができて+1-XN11あ違う下-x と なので1-P+QXN-1-9 の-9

か ん QXだこれQXということで1-QP+ QX-QXN-1の2乗 でまこれは1-P+QのXのN-1って いう風になっ て結局x- 1 [音楽] X- 1違うなまXN小なり1-P+QのXN- 1とだから1-p+Qがどんどんどんどん かけられていくよっていう話でまだから1 -p+Qっていうのはま1-p9っていう 風に置いてあげることによっ て1より小さいま絶対値が1より小さいだ からXN-XN小なり1-P+ Qま小なり1とということでこれを 繰り返し用いることによって0に収束する とでC= FCFX-Xっていうもの考えてあげると -PX+1-Xえ1 -Eの-9x上っていう形になるわけだ けどこれをGXという風に置いてあげ てgprimxこれを計算すると- p-1+Eの -9x+1-X下9倍のEの-9x 上 ですそうなん です カメラおよかっ たなんか声がね枯れてるよねさすがに ずっと喋ってるから あと眠気も あるあのほに大ではいはい元気いっぱい やっていき ましょうえあれおかしくなかった今あ元気 いっぱいあそっ か元気いっぱいに皆さんやっていき ましょう でG0を求めよう あG0を 求めようg0はF0- 00です一方G1 は1-P多数あ-1で-Pこれは負なん ですはい負になるんです ということで0の時01の時1違う1の時 歩なのでまG0が正であればいいんだよ ねということでG0これ計算すると-p- 1+1ま 消える-P 0119+9 9-Pせはい台は満たされ た続いて資格 5では資格5から元気にやっていき

ましょう解説していき ますいや正直ね四角2と四角3ね うん自信ないよ本当にあの健山する計算が ねただの計算ゲだ からなんかちょっとね変わったことやって みた工夫できるかなとか思ってケ工夫して み たり無駄なことしてみたけど多分最初から ゴリゴリやった方がね一番正確かもそれは さき近5かこ 1これは ねMODを使えば一瞬なんだけどMODを 使わないでやってみてっていうそういうね 話ですはい うんということでまこれをねどういう風に やっていくのかっていう話なんですけど 結局やること はゴリ押しと変わりませんAn+2をP倍 のえし何でもいいな まCまじゃあLでいきましょうLN+2+ BN+2という風に考えてそうするとま an+1もね同じようにこういう風に置い てあげることができるわけじゃないですか ねそうする とえこれイコールこれかこれ+1という こと で +BN+2=pln+1+BN+1か pln+PN+1っていう形になるから 結局このBN+2っていうのはこれ移行 するとBN+1BN+1あBN+1これの 積以外全部Pを含むものが出てくるよ とだから当然Pで割ったあまりと1すると いうことが言えるわけですまこの括1に ついては合同式使ったら当たり前なことを 証明してくださいねっていう問題だから こういう風に置いてあげれば当然できるよ ねっていう話でし たではついて括2番R=2P=17の時 10以下の全ての自然数nに対してBNを 求めよとまだから要はA1が2だB1が 2でb2がま2か3あ3でB3が え2+12個前+1か3とだから3く3で 9で4-9で36なんだけどそれを10な んでわったりは2 えー10く220で3とだから結局ループ するわけですね239 2929239とありがとうございます 2とはい2392392392という風に ループするよっていうのででかこ3 が前え先2つが同じ時遡ってBN=BNが 成り立つていうことを示してくださいねて いう問題ですとはいということ でま結局ねBN+2とBN+1えBN+ 1BN+1って多義的だ

ねBM+1とまこれが成り立ってますよと で今BN+1とBN+1あとBN+2と BN+2ここが等しいっていう風に言っ てるわけですよということ は えBこれを例えばアアまアベみたいな感じ で置いてあげると今求めたいのはBNと BMが等しいことだからえBうん違う アベBN+ベアベ BMベとあベという形になって差を取ると 結局ベ倍のBNBMっていう形になるとで 今ベっていうのは何かって言う と正のま0じゃない ありですよとこれは0以上 えー余りだからP-1以下 と当然BN-BMえっとベとPは互いに そのわけだからBN-BMがPの倍数じゃ なきゃいけないよとだからBN=BMこれ が成り立つということが言えるわけですと でについてはかこ3を使うわけだよねうん 結局割り切れる数が現れ ないこれ は えーループを作るわけですよPで 割り切れる数が現れないっていうことはま 2つの組を考えてあげるわけなんだ けど これは結局え Bなんて言えばいいか なB2B3B3B4b4B5っていう 組み合わせを考えてあげた時 にま十分 大きい え十分大きいえ数を取ってあげることに よって鳩のす原理よりまある2つが等しい 2組を見つけることができるとその2組を 見つけることができたらかこ3よりまその 前も等しいその前も等しその前も等しいと いうことが繰り返されるわけだから結局 これを無限に繰り返すことによってB1と 何かが等しいと いうことが言え てでこの何かっていうのは絶対Pま1じゃ ないわけあ0じゃないわけだから当然Hも Pで割れない とこういう流れですね はいでは第6 問いき ます第6問について はえy=√3xY=-√ 3×2から2√ 3と-2から2√3 とOPとOQの和が6となるように 動くまこの時点で例えばx座標SQ座標を う-Tという風に置いた場合この時点でS

まここがSだったらここの長さ2Sになる わけだから2S+2Tこれが6とTが3- Sですよっていう関係式が成り立ちますよ とかつT=3-SでえっとSとTの範囲 考えるとSが0以上2以下TがTもえ0 以上2以下3-Sをここに入れることに よってSが1以上2以下っていう条件に 変換することができるとこの条件のもえ 線分pqの通貨領域なわけなんだけどま PQのね えもうグラフ表しちゃいましょうS√3S と-T√3Tということで直線の傾きs+ t√s- tX-S+√3Sとまこんな感じでえ 表すことができてS+Tが3なわけじゃ ないですかここが 3でT=3Sをここに入れることによっ て2S-3 とだ結局まここをえ√3に変えることに よって√3Y=2-3x-S+3S と よってえこれが1以上2以下の範囲で解を 持つよう なXYの範囲を求めていきましょうていう 問題です ねだ から2S-S3S-X-3S+√3Y=0 なんだけど2Sの 2-3S2 SX-2S+3 の違う2S2x+3のSああ これまいいやこれ あの誘導に乗っ取った回答してない わ誘導に乗っ取った解放してないんですが まいい でしょう 結局このSについての2次方程式が1以上 2以下の範囲で回を持てばいいという方針 で解いてみますかねそうするとF1 =-1+2x+√3Yという形になって これはなんとです ね特にないんですよF28-4x-6+√ 3Y2-4x+√3Yうんこれもなんとね なんてこともない とんさすがになんか怪しくなってきた な方針転換するか 方針転換する かちょっと待って よちゃんと純増法で計算した方がいいよう な気がしてきたなはい√3y=-2s2乗 でXについSの一次については2x+あ 2x+ 32x+3 Sで定数行についたマイナス2X3じゃ ない2×6だあだからずれてるんだどっか

でずれてるなっと思っ た+ 62x+6 と定数こ- 3x ああなるほど 色々ずれてたんだな じゃあ色々ずれてました ねこれこのミスするってこは相当あれだな -2x+3- 3ここは+6だ しこれ+√3Y+ 3xこれをが分かってれ ば2-2x-6+√3y+ 3xx+√3Y-4みたいな感じになっ て行く分真しだった なX+√3Y-4 でしょ これ 2√3 通る-22√3が通るのかああ行く分増し だった なF2 はえ 8-4x-12+√3y+3xから-x+ √3Y4 とうんこれだったら全然いけただ なこれと これで倍分けすることができ てF1下F2で場分けすればいいもんね ここの部分は絶対 通る はい逆像法で解きまあ逆像法で普通に解き ますF1下F 2 が0以下の時これはオッケーつまりここの 部分は絶対にオッケー続いてF1もF2も どっちも負の場合っていうのは2次関数が 絶対一緒に解を持たないのでF1も0より 大きくFにも0より大きいすなわち このこの三角形の内側にある時この時 はえ 軸軸が1から2の間軸 は2/BA ダシュAB ダシュこれが1から2の間すなわち Xが-2から-1対称性よりそんなこと ない でしょ やり直し 2- Bこれが-1からあ違う1から2の間 48-22-1から1ですね-1から1の 間にいて かつ

えー判別 式44Dはx2+6x+ 9-2倍の3x+√3Y=この3xの分が 消えてX2+9-2√3Yこれが0以上で あればいいよねとということでY小な=2 √332+ 9なので 結局グラフがこんな感じ か こういう風 にバテ引い て1と-1のところでこういう風に 接するでそれぞれの交点っていうのを 求める と [音楽] うーんこれが0だからXが0Yが3 √ √√ 3ここ が2√33/2√ 3ここが え1√ 322√ 3はいこんな感じですか ねでここの部分 が1√13√35 か5√3 になってますよ とで一応 ね ま求めなくていいとは思うんだけど接し てること確認しとき ますどうせ接するようになってるから ねそう でしょ2√3y=x2+9やと2√3Y= -2x+8ってやつがおお接して いるなので図も成功でかこ1について は えそっから逆算し て0からSが1の 場合これ はTっていうの は2 の2√3S2+ 9以下でえ下はこの直線ということ で傾きが負の方すな√ 3 S-S+ 4です ね1の時に√3なってるもんねでSが1 から2の範囲の 時Tっていうのは√3S 以上この直線以下だから√3 の

S+4 以下ということがわかり ますはいということで 一応終わったが絶対に大門2か大門3かで ケアレスミスをしていると思わ れるちょっと ねガタガタしていたしということ でしかし まあNが2の 時 [音楽] うん 合ってる気がすんだよね どうせ一旦四角4と四角5言うわ四角6も 言うわで2と3だけ保留で はい油断は金物なんでね四角4はから行き ます照明はいまずか 11-Eの-9x乗ってところが0より 大きく1より小さいっていうのを使って あげることによっ てFXの最小値を考えるとま0+0で0 当然ねはいでFXのえ最大値を考えるとえ 1-pが1の時1-Eの-9x乗も1の時 なぜかと言うとXも1-Xも正だからだ からX+1-Xで1より小さいってことが 言えるえっとね1-Pと1-Eの-QX乗 の方をいじったって感じで1-pも0から 1だし1-Eの-QX乗も0から1なんの よはいだからえっと1番ちっちゃい方は どっちも0にした時1番大きのはどっちも 1にした時っていう 話だからはい括1は示されましたで括2は XNをごちゃごちゃていじるんだけど途中 で使う不等式がええっと与えられてる不 等式にXに-QXを代入した 式これ をえっと入れ替えることによって1-Eの -QX小な=QXっていう式が出てきます はいこれを使うはいでXNをまXN-1の 式にごちゃってやって1-Eの-QXまN -1乗の部分のをQXのN-1より小さい ていう風に変形することによって結局1- p+Q下XN-1より小さいっていう形に 変形できるはいで1-P+Qっていうのは PがQより大きい時はま絶対値が1より 小さいってことが言えます となんでこれを繰り返して用いるとま1- p+QのN乗下X0まX0かX1かX1だ ねN-1乗下X1より小さいっていう風に なってNを無限に飛ばしたら当然0に収束 するよねっていう 話オッケーですでか3についてはFX-X っていう関数GXを 使うでそのGXってなんぞやっていう話な んだけどまずG0=0G1が-Pで歩って

いうのを使ってかつgprimxま微分し た関数に0を代入すると-P+Qでせって いうことが分かるとそうするとFX-X っていうグラフが 0の時01の時歩で0の時傾きが正だから 上がって 下がるということが分かるGXをFX-X って置いたんだよねオうんそうでそうする とG0が0だしG1が負でGプライ0が正 っていう条件からえっと 001歩で最初上がるっていう情報から 合算すると上がってそっからG1歩に たどり着くまでに絶対に工程を持つよね よって0から1の範囲に実数しや存在 するはいはいていうロジックですじゃあ第 5 問第5問はえか1についてはもう別にね An+2an+1BanをそれぞれPLN +2+BN+2とかまLかKか何でもいい んだけど何の文字使ってるかわかんない けどうんで書き下していってで結局pln +2+BえこのAn+2=an+1an+ 1の式に全部ベって代入して結局BN+2 =っていう形にするとえBN+1BN+1 のこ以外は全部Pで割り切れるわけよだ から台がされるというわけですはいはいで かこには239239239239ま10 までだから2で止まるんだけどはいこれを 求めてでかこ3に関しては [音楽] えっとま最終的にはBN+1とBNM+1 何の文字で置かれてるかわかんないけど じゃベとし ましょうそのベかbn-BMかこじって いうのが えPの倍数になるでベは明らかPの倍数 じゃないから条件より0より大きいからね BNとBMは等しいってことが言える よっって いうはい感じですでかこ4については えっとハトのす原理を使うんだけど2組え B2B3B3B4b4B5みたいな感じの 2つセットでたくさん用意するとえっと 結局BBなんとかってま1からP-1の間 のどれかなわけよだからP-1の2乗+1 こ以上のえセットを用意するとどれかしら 被るものが出てくるのねじゃそれかぶった とします被る2組が存在しましたそうする とか3よりその手前のえ余りも一致する その手前も一致する手前も一致するって いうの風にずっと遡ることができてそし たら結局B1とBなんとかで同じものが 絶対に存在するわけよそうするとまA2 からA3まA2点てにPで割り切れる数が 現れないということは当然B1も0じゃ

なくてことはA1もPで割り切れないと いうことが言えるという流れですはいはい いいんじゃないでしょうかはい ありがとうございますで四角6も一応 じゃあちょっと計算確認しときたいかなっ て思ったから236だけちょっと計算して 2014閉めたいないい感じに ケあれなんか時間かかってる ねいや時間かかってるというかうんま途中 ねバタバタしてたからねまあまあまあ ということ で2はねかこ2が奇問なんだよ ね答えが汚いからあとN上なのかN-1乗 なのかが怪しいからねま2のか1はA+ 1/3とA+1A+A+ 2ではあってかこ2が一旦ちょっと保留に しようちょか第3問から一旦計算しよう え-1+マイ√3です とで えっとま別にここら辺は大丈夫 でしょうで2倍 の2u+2u2+u+1っていう形が出て きますよと でそれを積分するんだけど最初なんか ごちゃって適当に痴漢積分とかしてしまっ たのでま あえて普通の方法でやりますかえ1-√ -1-√3-1さ√3U2+u+1-u 2-u3-u+1の 2U+1=え√3sin シそうする と-√3から√ 3-2 からU2+2u+ 13sin2シから3sin2シ -√3sinシ + 1 うんの √3-3sin2シだから√3cos シか√3cosシだから3cos2シに なりますよ とでえ偶関数期関数の性質より2倍の -22でえQsin2シcos2シと3 cos2シの積分に着することができ てあ0だね2倍の 0これはすなわちま3で括れば6から 03sin2シcos2シ3下22シの2 乗 でしょ+1/2+cossin2シ でしょだから34倍のsin2乗2シなん だけど1/2-cos4シ+1/2+ cos2シなんだけどcos4シもcos 2シもえ積分すると0から52の範囲だっ たら0になっちゃうだよ

ねだからここが消えますと結局残るのはえ 1/2もくったら3 か ん 7422/8 かどこでずれ てる2倍のQsin2シcos2シ+3 cos2シあってるや ん 9 か1/2 うん うんん3/2だ ね ん なんか んいや違う違う違う違う違うこっちはあっ てるんだよこっちがあってい て こっち が3cos20ああここ3 だ3/2だ危な2/8パ だ うんま一旦四角3行くわはいかこ1-1- √3と-1+√ 3ちょっと ごめんえ-1-√3と-1+√3はいです よかこ2 えっと√の含まない方がU2+u+1はい これに√の方が-U2-2u+2正解で かこ3が2/8 パ正解よしで大門大門6そのままもう行っ ちゃおうかな一応まあってると思うんだ けどSが0以上1以下と1以上2以下に 分かれてるんだよねはいはいで0以上1 以下の0以上の方が えっとま一応1√3をト通って-22√3 通るから合ってると思うので加減は√-S +4 はいでここがえ1の 時ん1の 時√3なんだけど-1の時√ 33だから53√3ちゃんと通ってる かっていうことを確認したいんだけど1を 第2したら通ってるから2√33S2+9 かなっていう風に思っています がまだ今のファイナルアンサーではあり ませんが2√33S2+9でいいかもしれ ない合ってる なここでえっと微分した2S√1/3傾き √13だからあってるわ2√33S2+9 0以上1以下の範囲はねうんうん2√3ね ごめんね2√3がすごい大きい分母のあ 分数の分母はいで分子がS2+9 少々お待ちくださいはい6√3S2

+え3/2√3でもいけるはいオはいごい ます供給入れかですありがとうございでS が1以上2以下の場合ははい√3S以上 はいで最後決めたいねはい √ 3S+ 4正解イということでグラフはこんな 感じこんな感じです グラフはいかこ1があってればかこ2絶対 それを図するだけだからうんうんで四角に はえっとねかこ1か2だけちょっと計算 間違えてないかだけ確認するわ 一応ね おいかこ2がねすごい ねもう1回ぐらい計算してもいいかもな ここで間違えるのはちょっとアホらしい からもうかあじゃかこ1だけ言っとくわ別 にかこ1はあのただの計算問題だからはい 状況整理 問題かこ1はいP=A+ 1でPに = はいえっと分母が分母がA+1A+3で 分子がA+ 2正解よしでここまではいいんだよ ねで今のところ出てる答え がこれなんですが1-A+1/3-A+1 ののN 乗一応これが今んところ出てる個体なんだ けどNが2の時合ってるか なこれ確かめられればでかい ね お多分Nマイナ1だなここの 部分 ふう なんかミスが目立ってる な計算し直すか一応ね念の ため念には念を入れるっていうのはすごく 大事なこと ですそうあなたも思いませんか はいはいかの 先生念には念を 入れるqn= ああPNはqn-1下A+1/だ通り でえっとこれは それっぽいのは出てきていますとでえ一応 N=1の 時お おお おおN=1の時も成り立つんやこれ 素敵なんか自信つい たN=2の 時 ん おお成り立つじゃああってるか行きます

PNねはいまずA+1/2で大きく括り ますはい1マはいA+1/3はいかこかこ の中が-A+1/はいでかこで閉じてかこ えっとN-1乗はいで大きなかこを 閉じる正解よしでかこ3がA+ 1/2 正解 よっしゃよかった2014 突破明らか疲れてるわあろね明らか疲れ てるわ健山にかかるかける時間とかが ちょっとね長くなってきてるねお12時 ピッたです よ配信始めから言うともうでも16時間 ぐらいやっ てるね えぐよかった16時間東大数学を解き続け てい ます助けてください実は僕監禁されている ん です僕監禁されています誰もそんなことは 言っていませんあの寝られない部屋全然 休んでくれていいと言ってい ます今日脱出ゲームって聞いてはいあの この部屋から出られないただし脱出条件は 東大数学を続けること誰も 出絶望要塞だから 今本当にこのゲしか出られないよそれ は どうどうするいや ほ次2013年2013だ次はあでもあれ だねひとまずあれじゃないかな配信枠 うん10 年10年分倒しました 40%えじゃあと3年分そうです今日はね はいなんだか行きそうな気が するそうま一応あの 天なんかね はいまあの今ちょっとまた2000人 ぐらい来てくれてってまちょっと朝より 増えてるのでまたそうそうそう てもらえたらなんですけどはいえっとま 深夜の間にま決まったこととしてま今回 25年をぶっ通しでやるのはま別にやら なくていいんじゃないかというかあのよ このペース言ったら50時間ぐらいかか るってことになるからねうんで50時間 かけてずっとやって なんかね睡眠不足で頭が回らない中計算 ミスて終わりっていうのはまちょっと なんかか今回の趣旨に反してるかなという ことで一旦10過半過半数というかねえ 半分以上の13年分を終えたらえ13年分 を終え たら翌週に持ち越しということでえ来週の まだ土日のスケジュール確認できてなかっ

たけどえっと来週の土日えやろうと思い ます残りのね分にについてははいまだから あとね今もう10年分達成したのは嬉しい 10年分だね一応なんかさちょっと当初の なんかうん動画外だけど目標としてさうん 10年は行きたいよねみたいな話してた じゃんそうだねうんなんか10ね25年 って言ってうん全然2年とか3年とかで どっかで計算ミスすることあり得るなとか 思ってたけどし実際健山しなかったらうん 間違えてるところ結構あったじゃんそうだ ねこれ多分動画見返してくれればあやべえ これ違ったっていうの何回も何回も言っ てるよね答え合わせ寸前にもう緊急回避し てる時がもうめっちゃそうそうまそれは もう本当にいろんななんていうの間違え ちゃいけないプレッシャーの中でN=1の 時N=2の時とか妥当な数字を入れまくっ てうんこの場合も合ってるから多分大丈夫 だろうとかっていうのずっとし続けたんだ けどうんま多分見てくれてる人はね伝わる と思うけどうんで え何が言いたいかというとまそういうのを なんとかねえま最初は下手したら23年で ミスってしまうのではないかっていう中 なんとか当初の目標10年間を突破する ことができてま当初っていうのは裏目俺ら のうんまあ10年行けたらいいよねみたい な話してた10年は行ったということで 素晴らしいここまで行ったらよく出てくる よ ねさすがすね ねあと何年行けるか なあと15年行けるかなまとりあえず翌週 にたきをつごうそうだ今日感想今日の分 感想今日3あと3年分はい頑張ります 頑張ってくださいえちなみにトラさん スパチャありがとうございますビビます ですけど応援していますということで ありがとううございありございますいや 本当にしみるねこの疲れ疲れてうん戦えて いる体にしみるねありがとうございます 本当に ちょっとねだってほらシシうんあの追加し たやつここにさ貯めてるんだけどさうん うんちょそれなんかもう置いといて欲しい かもこの今写真4本ね使使い切ってるく この折れたシシとあの削れた消しカスうん なんかもはや勲章としての星をそうだ ねレベルです素敵はい4本今んところ写真 を消費しましたシシ4本ってやばく ない写真4本ってやばくないね普通にええ シシ4本ってやばく ないすごいよねそ使うええちょっと覚えて ないけどさもはや俺現役時代ことでもさ

15時間半東大数学解いてるからねまあ そりゃは使うわそう ないやちょっと俺も写真4本本気でビビっ たこ4本4本並んでるからちゃんと同じ長 さ折れたやつじゃないよオよし2014年 だからこっからはうんはいえっと現役時代 過去問で解いてる問題も中にはあるからね 10年前の記憶を呼び起こしながらうん そうだね絶対覚えてない10年前の記憶 なんぞそりゃそうじゃねえ いやあまで もね2013年です2013年です本当に もまでまもしかしたら見たらあこんなん あったかもなとは思うかもしれないね 2013俺多分同日で解いてるわああそう だね同日で解いてうんうんうんリ3の合格 点と超えたから ね20点ぐらい30点ぐらい230点 ぐらい離さの合格点超えてたからうんああ ま受かる今でも受かるのかって思って同日 それが同日の思い出です うんそうです かあはいニハさんスパチャありがとう ございますありがとうございます試験の 勉強しながら勉強ライブ風に流しています お互い頑張りましょうということ頑張り ましょう頑張りましょういや本当にこのね えライブを始めた趣旨も先週まで共通試験 でうんえ共通テストで共通試験ってなんや 共通テストであのねこれから2次に向けて 頑張るてい受験生が多いだろうということ でま僕もね東大の数学を解いてまあ2時に 切り替えないとっていう風に少しでも思っ てもらえたらとあとはま東大受験生降参の 人ももういるかもしれないけどま高一高2 生の人も東大志望の方は是非ねま一緒に 解きながらこの限とこうやって解いてるの かっていうのをま参考にしてもらえたら いいかなという風に思いますあと徹底基礎 講座スチa2bさんも絶開口中ですので もう僕の数学の全てのねなんていうか ノウハウというか思考パターン思考 プロセスを言語化したま講座がありますの で気になる方はえ概要欄からチェックして みてくださ はいはいでは行きますかはいあでもね本当 にねはい徹底基礎講座で解説した問題が たまに出てくるんだよねああからそこは あのラッキーというかうんああなんか こんな感じでやるんだよねっていうのは 分かるからうんうんまあまあまあでもそこ はそこもちゃんと別になんて言うんだろう 解説しなくても思考プロセスは出来上がっ てるから解けるはず素晴しうん素晴らしい では2013年行きますか行きますはいで

こちらが2013年の問題ですありがとう ござい ますうわ待って ん今すごいことに気づいた気が するどうしまし た2014年うんもそうだったんだけど うん行列が試験科目内 だ今行列入ってないんだよねそうだよね 全然なかったもんね烈 だいやこれ2013年の第1問で思い出し た行列っていうものが数学にあった待って 東大のね行列解けるかないやでもなんかね 計算計算頑張りゃ解けるやんみたいな問題 が多かった気がすんだよねあとケリー ハミルトンとかなんか常識的なところを ベベベって使って基本ゴリ押し これで東台の行列は乗り切れるっていう もうそういう記憶があるからまあなんか もう成分表示の計算ゴリ押すわ出たらはい はい頑張ってください行列あるの忘れて たオオじゃ行きましょうかやりますそれで は20113年 よーい スタートしゃまあ1がこれ回転行列だね2 があてか1複素数平面でできるんだもんね 2はうん美3 確率4あこれこれ徹底基礎講座で扱ったわ 5うわあ懐かしい66ねなんか難しかった 難しい問題としてなはせた気がするまそれ はどうでもいいまず四角 1これはね回転行列だっていうのはねA- BBっていうのを見たら反応しなきゃいけ ないわけですよでこれをR倍のcosシ- sinシえsinシcosシみたいな感じ で直してあげるとそうすると結局まだから これ 今の過程で言うとこうすればいいんだよね えR倍のcosRのcosシじゃないなえ a+ bのXN+yinこんな感じ かyinなんだyniです ね はいこういう関係式が成り立って るっていうことに気づくで今これ気づくの 結構難しいんだけど当時はあの行列の回転 行列いうものがあって回転行列こういう ものなんだけどA-BBAみたいな形が すごい馴染み深かったんだよね回転とだ からま思いつくでしょみたいな感じだった んだけどま今は複素数平面でこういった ものに置き換えていくとまそうすると結局 Rが1っていうのがすぐ分かるんだよね だってP0これP6でしょだからくるっと ま6乗しても戻ってくるからRが1という ことでRを無視することができてあと

はまあの10から始まって6回かけたら1 周戻ってくるということ でまこの6 角形を考えた時 に回転が60°の場合120°の場合 180°の場合240°の場合300え 300°の場合360°の場合それぞれ 考えればいいんだけどP0からP5がI 異なる場合はま120だったらねP0とp 3一緒になっちゃうからねこれとこれの時 すなわちA が-1/2あ違うお前なんでやねん 1/2なんでやねんって気になる関西弁B =32√ 3まプ-2√3 とUはわけですはい第1問は終わり第1問 はね最初の回転行列に気づけるかどうか あるいは複素数平面の回転に気づけるか どうか気づけるば一瞬っていう問題です はいAを実数としはいこれもねこれは徹底 基礎講座で扱ったわ数 3東大の問題も ね徹底基礎講座で扱ってんのよ たくさんそれはなぜかと言うと東大の問題 だから難しいとは限らない東大の問題も しっかりと基礎が入っていれば解けるよう な問題っていうのが数多く出されますと それをね是非知って欲しいです ね [音楽] うただの微分の計算で一瞬なんか変なこと 仕掛けるっていう情けないですねX上分の えcos xはいということでこれ通分する とここが足sinxお 消える消えるやっ た-2xcos x-x3cosxと ということで-xx2+2cosxという ことが分かりますよとということ でせせだから-cos xの符号に依存しますとそうするとねそう するとね-cosx でしょこういう ねマナス+マイナス+っていう風に進んで いくわけですよ でそうする とあとはま増減表を考えていけばいい わけXが0に近づいた時はえ0の2乗とか ね500とかっていうのがまここは1に 収束するか無限ですねだ無限から降りてっ て無限から降りてって 52252っていうのをどんどん代入して いくんだけど全部なんと気持ちいいcos xが0です消えます続いてsinx

は1か -11か-1なんです よということで最初は -/まで降り て次は3まで上がっ て次は5あ- まで下がってみたいな感じのこういう挙動 を示すんですね厳密に言うとどんどん どんどんその極地の幅が狭くなっていくて いうことを示していかなきゃいけませんが 3つ持つ場合はって言われ たら こことここということでAが -5はたまた 2/より大きく2/より小さいとこの場合 だということが分かるわけ です はいあってる でしょうま一応後でね計算ミスは確認し ます が四角に終わり続いて四角3確率の問題 です ねABの2人がいる投げた時の表裏の出る 確率がそれぞれ1/2のコインが1枚あり ええまだ7分早それぞれ1/2のコインが ある うんAがコインを持っている時はコインを 投げ表が出ればAに1点コインをAがその まま持つ裏が出れば点を与えずAはコイン Bに渡す俺のターンエンドってことかBが コインを持ってる時はコインを投げ表が 出ればBに点を与え俺のターンドローだね 今夜はBがそのまま持つで裏が出れば両者 に手与えずAに渡すと ターンエンドねそしてABBのいずれかが 2点を獲得した時点で2点を獲得した方の 勝利とする例えばコインが表裏表表と出た 場合この時点でAは1点bは2点を獲得 しるのでBの勝利と なるだから表が出ればどっちかに点が入る よ裏が出れば順番変わるよっっていうこと ねで2点獲得だから結局表が何回出るか ってことか表が2回出ればいいのかあーん ABB合わせてちょうどn回コインを 投げれた時にAの勝利となる確率PNを 求めよう とだから2対0で勝ったのか2対1で勝っ たのかの2パターンあるもん ね最初Aがコイン持ってるわけ じゃん だから表だから裏 がたくさん出てるわけよ裏の出てる回数 っていうのはN-2回かN-3回のどっち かだから裏のまバツバツバツてんてんてん いやちょっと待ってよこれ空気分け

か 空気だ なはあ今どういう思考回路だったかと言う とAが勝つということはえっと裏の回数 っっていうのが決まってるんだよねあ裏の 回数っていうのが偶数っていうのが決まっ てるわけだよねということでN が えっと偶数だったら Aがストレートで2点取ったことになって Nが奇数だったらbが1点どっかで取って るっていうことが分かるという話でした じゃあNが偶数の 時Nが偶数の時えAが2点bが0点ま要は 表が2回裏 がN-2回なわけです ということ でこれに より結局裏がN-2回並んでるんだ けどこの間のどこに表2回を入れ込むか まず最後確定だね最後がn回最後が え2/2N-2じゃないわN-2だ わ1まなんで2ってしたかと言うとAが 入れ込み隙間って22-2回かなと思った んだよねま最初でバツでこれBの単位に なっちゃるからなっちゃってるからこれだ から0回50回52回 後ててでnn-2回の 後ああごめんN-2回の 後 のえNN-2+1だからnnか普通 に普通にn nnn箇所に残りの表1回を入れ込んの で1/2の 通りだからNが偶数の時は2のN2Nだ から2のN+1NになりそうだこれがNが 偶数の時でNが奇数の時 はこれすなわちAが2点bが1点獲得して いるとまだから表が3回裏がN-3回出て ますよとでN-3 回てててんてんてん で最後にAがウィニングショットを決める わけです がこの中で残りの表っていうのはAが1点 bが1点入れるわけだけどAが入れる1点 っていうのはま0回後2回後点点 点ま02点点のどこまでかというとまN- 3なんわけだからN-3か 5これがAのショットBのウィニング ショットは135点点どこまでかというと N-4回後まで生きるというわけです よということ は えNN- 1か2N-

3これがAとBの入れられる場所ですこれ を2のN乗で割れば2のN+2乗のN-1 N-3という風になるとでここで問題がN =1と3の時ちゃんと0になって るっていうことが素晴らしい大変でN=5 の時が初めて N= 52の7下2ちゃんと2の4本当に2の 4/だから2通りあるはずなのか えっと5の時 にバツバツまま丸なんだ けどこれじゃダメなんねバツ丸バツまま か丸バツ丸バツ丸この2パターンしかない もん ね うんあってる でしょうこっちもNが2の 時 1/4かNが2の時1/4おいいねNが4 の 時が4の時 42/8バツ バツ ままか丸バツバツ丸うんオッケーかこ1は 合ってるでしょうかこ 2すごい慎重です ねでもN= 12345まで調べてあってるからかこに を安心して解くことができ ます はいPの無限和を求めよということです が まあまあまあまあ等差かける等比を2回 やればいいんだ応用させればいいん だ2乗が出てきても同じだよっていうこと をすればいいのか な書き並べ ますNが1の 時 んNが1の時Nが2の 時2の 時 Nが4の 時 ここのセットでいい感じにね楽できそう です ねてかこうしないといけないんすよだって 極限無限に足して勝手に並び替えちゃいけ ないんだ もんということ でまこんな感じで進んでいくわけですね じゃあこれをえじゃあ2m-1と 2mこれのセット でqmとしましょうそうするとqmって いうの

はこれQ1ね92点点え2m1の時は奇数 の時だから2m-1を入れれば2の2m+ 1乗2m-1は2m-22m-4とま実際 Mが1の時 は0だしMが2の時も0だしMが3の時 は42に乗ってるよねうん間違って ない で2mの時は2mの時はどこだこれだ2m +12mとうんいい 感じ2の2m+1乗 の2m2で割れる2の2m乗分 のm-12m4+Mということで2mの2 -2m-4m-6M違う+Mだから-5 M+4とはいこれを1から無限まで足して いけばいいっていうことですファイナル アンサーファイナル アンサー正解ですね 素晴らしい うん正解ということで こいつどうすんのっていう話なんだけど コヒが4だから1/4だから1/4 9mっていうのを求めていきます かん違う違う違う違う 違う これもうqmの無限は求めちゃいます わMが1の 時えこれそれぞれあれし ちゃう2のM M2-5 か あーこうしちゃいます かいいです か4のM乗分のMの2乗下4のM乗のああ 違う違う違う違う2下4のMのM 2-5下4のmm+ 4のm上の4まこれを無限に足していこ うっていう形でいきます か やれやれやれやれだ1/4qmを書ければ いいもの を ああ4のMM2これをstuみたいに置い てあげる と4SうS がMが11/4+2の24の2乗+4の3 の2の2あ3の2乗+ ててっていうことで1/4Sっていうのは 4/の2の2+4のの2 +はい3/4S=1/4+4/の+4の3 5 +これはすなわち 2倍の1/4さす4の2+4の1+んなん で2倍2m-1だからって思ったんだ けどあ違うわ1+2+3+ だ+101

-1/4+4の1/ 点点これ4と1っていうに分けるとここの 部分がTだよねこの部分がUだよね2TU 3/4Sは2t uということが分かるとSが 3T4 Uということでこれ計算する と16T -8-5T+4U13T+4Uっていう風 になってこのTをもう1回ね求めてあげれ ばいいんです1/4Tが4/の1/4/の 1/ 点点差を取ると34Tが1/4+4点点で U という風になるのでTが4Uですだから 結局4/9U+3U9Uっていう形になっ てU は1/4+4の点点だからえ1/4 か1-1/4 13答え 1/7絶対後で確認しないと間違えてる 可能性が非常に 高い第3問 終わり第4 問第4問好きなんだよね 結構ABが1ACが√ 3 bac直角ABが1ACが√3すなわち それ2三角形ABCの内部の点Pがはい PAベクトルとPBベクトルとPC ベクトルこれらのまあのタインベクトルだ よねおなんかカメラ切れ たけどまたリセットされ た単位ベクトルが0ベクトルとまこれね単 ベが0ベクトルだから当然apbが 120°APCもbpcも 120°でやりたいしそれでいいと思うん だけどねうん個人的にはだけどまあ一応 厳密にやるならPCベクトルを残りで 表しえこういう風に 表しこれの絶対値を取る とま2乗するとこれは単位ベクトルだから 1でこれも単位ベクトルだから1+1+2 倍 のま大きさか大きさかcosシとという ことでcosシが-1/2だからシが 120°ということが分かりますよとま これはいいでしょうとで問題の括2番ね 全部120°120°120°っっていう のでまPAの大きさPBの大きさまこれ ABBCっていう風において求めいきたい んだけどえ式を立てると予言定率か使って 立てるとA2+ab+B2が1かみたいな 式とかが出てきちゃってでもそれをね全部 ね連立させて解くのは結構難しいんですよ

ね無理じゃないけど全然解はするんだけど ちょっと 大変そこでパニックになってしまった人も 多いと思いますそこ でま徹底基礎講座のねBでも解説します がこの図形があえてこの形になってる理由 を考えるわけよね1√32だから要は角度 がね 分かるそういうね三角形じゃないですか 30°60°120°がたくさんあるもし かしたら掃除とかないかなていう願望の もちょっと探してみようかなって思って 欲しいなっていうところですねそうすると ここXとするとここ60°-Xでここも 60°-X三角形pabとpbcが 掃除ということでまここAとするとここ KAここK2Aみたいな感じのま比例関係 になってますよとまこの掃除が見つける ことができればあとは もうあとはもうですねはい えこれが掃除で1対2なわけだからAで2 Aと4 AA2A4aっていう風に変形することが できてまここがね予言定理使えばA2+4 a2-2か2まあだから2A2かが 1 お本当 か 本当かっていうの はここがプラスだからですということでA が√1/7ということが分かるのでPAの 大きさが√ 1/7PBの大きさが√2/7えPCの 大きさが√4/7という風に求めることが できるわけです はいま四角4は あの僕は解けました 5次の名題Pを証明したい次の条件ABB を共に満た自然数aが存在する連続する3 つの自然数の先であるあこういうのあった な1が連続して99回以上現れるところが あるで1yは自然説とするこの時不等式 これが成り立つような性の実数xの単を 求めよまこれが誘導になってるんだよね きっとうーんXの範囲だって ねただの計算じゃんただの計算 じゃんまX+Yを塊として見れるからね これはわさの 積わさの積X+Yの 3-X+Y とまこういう風に変形することができてx 3+3YX2っていうのをこっから引いた あげようそうすると3x2Y +Y3-x-Y小なりここも消えるからX 2

と3YX2 3xy2やないかいなんか逆だと違和感 あるけどまXについての式だから ね ん3x2yってことでしょん3xyの2乗 ってこと か失礼しましたx3x2X3Y2xって 書いた方がいいってことね3y 2x 足Y3-x-Y小な=小 なりx2とということでこれを解いていき ましょう左側3y2- 1x台なりYY3Yが自然数だっ たら正の実数xが正だったらオッケーだ 左辺は常に成り立つなので右辺が成り立つ Xを考えるX2-3Y2x違う 引か3Y2-1xなんかカメラさ ちょくちょく 止まっちゃうか も4 こっち-3y2-1y30-1yだ から因数分解じゃなくてまできないっすね 因数分解でき ないx=3/2y2-1プラスマイナス√ え9Y4-6y2+1+4y3 引きったな9y 4-+4Y3-6y2-4y+1 とで3Y1の2乗+これだから3Y2-1 より大きいね3Y2-1より大きいって いうことが言えてしまっているので マイナスであることはありえないとよって X代なり3/2y2-1+√ これ過去にXがこの範囲だったら成り立つ そう明大Pを証明したいま連続する3つの 自然数の積の真ん中の部分がこれでAを 10進ほで表した時1が連続して99回 以上現れるだからXとYをうまく選んで え こういうものを作っていきたいってこと でしょだから3Y+3YX2とまだから3 Y1+1のX2 か うーん だからY が 37037037っていうのを繰り返し てくことによっ て3Yが 111111になるよ ね+1より 小さいということ ででXを10のまめっちゃきー上にすれば いいってこと じゃんじゃ適当に はいY

をそうだ な33回3737 037まあ余裕もって34回にする かでX は 10 の100億上ま1万乗でいいや10万乗で いいやてするとXこれはこの式を満たし て え10の30万乗+111点111か10 の20万 乗正なりま連続 数aか10の30万乗+111112か 10のこれとということで当然これを含み ます 6ああの3がね絶対今今の時点だと間違え てると思うから 計算し直す はい 6XY平面内で不 等式-11 下正方ケースの4つの頂点をああ座標空間 かABCDとするSをbdを軸として はあV1ACを軸としてV2 うんですねはい東大が好きな塩水局面です 今日何回解いたことか0以上1満を満たす 実数Tに対し平面x=tに おけるV1の切り口を求めよう とだから塩水になって てここの 傘塩水をね切ると双極線双極線になるよ ということですあでもここに平行だから えー放物線が2つ出てきます ね大物線が2つ出てきます と いうこと でさてさてやります かうーんま斜め向きのね方程式になっても あんまりやること変わりません実際変わら ないんですどうやる か えっとBOBOベクトル とま BXうなんでもいいやPBPベクトルの ナス 角ナス角っていうの がこれ実 は一定なんですよね塩水において は塩水においてはナス角が今回は45°か だからcos45°は√1/2という風に なるのでこの式が成り立つようにPの座標 を求めていくとまBOベクトル は-1 -10-1 -10

かつBPベクトル はx-1y-1z=BOベクトルの大きさ は√2あだから√1/2で消えてBP ベクトルの大きさは√x2+y2+Z2な の ですなのでなんとx2+y2+Z2 =-x-y+2の2乗という風な計算が出 てきてZの2 =これ展開する とx2+y2消せば2xy-4x-4Y -4というなんともまあ一見綺麗そうな形 の図形が出てきますこれをx=tで切断 するんですね ちなみ にこれの うちこの塩水局面って言ったらここが全部 ね含まれちゃうからある程度のま範囲を 制限しないといけ ない これ常にyは-xより大きい わっていうの とYが-x以上っていうのとXもYも1 以下っていうので一旦絞りますかこれに よりX=TだとするとY=っていう形に できる ねていうか放物線だやっ た2TY4t-4y4=zの2 乗yは2T-4y=zの2+4t+ 4 [音楽] うんいやな すげえ2T-4でしょtは0以上1未満0 以上1未満だから絶対 ふふ だということでYZ平面を考え たら4t+4 はこれはせ だということ でYがが0の時のZがないYが負の時はあ 違うZが0の時 はZが0の時y はでこうなんの かこういう放物線本当です かだって 明らかこれと形違うじゃないです かやれやれ多分計算ミスしている ね うわ ああBPベクトル やんx-1の2+y1の2+Zの2でした ということで 仕切り直し仕切り直し て塩水局面はx-1の2乗+y1の2+Z の2乗 =x+y-2の2乗

ですなので これ展開するとなんと ね気持ちいいんです よx2+y2乗消える でしょ-2x-4Yが-2-2になる でしょ+1+1が+2になるでしょZの2 乗=2xy2x-2y+2これで今度こそ x=tの場合は TT ね2yあ2T2 y2T2 yうん2-2Tにした方がいいよね2-2 TYだからYの部分をこっちに移行して- Z2-2T+2と あy =-2-2 TZ 2+1 だいやそうだよね1絶対通るやん冷静に 考えたら当たり前の こと当たり前のことだけどこれが出てくる と合ってるなっていう安心感を得られます Zが0の時yが1こういう放物線です ねこれが点b 側ですともう1回同じことを下の方でやれ ばいいんだけどまあと はDoと DPDoとDP下√ 1/2でDが -1 -10だからo-Dは110 とy+1zと√X+1の2+y+12+Z 2乗これ全く同じことをすることによって 下側の塩水局面の式が簡単に求めることが できる ま一応上側をメモしとこうZの2=2xy -2x-2y+ 2下側 は はいZの2乗 が2xy+2x+2Y+2ということで X=Tの時 は2y+2 T2T+2 y=zの 2 -2T+2yは2T+2のz2-1って いう形なのかで引1は合っ てるYが0から1の 時1/2とか入れてみるとこっちの方 が緩やかということが 分かるだこういうことだよ ね切り口の面積 うん1/6公式が2回使える ね

ふうかこ 1 Z座標を求め たい T+1で1-Tと1+T+と 2約分でき て イコル 22だZの2乗がなんと2倍の1-T2乗 だ やっ た√2倍の√1-T2と√2倍の√1-T 2乗だということで切り口の面積 はS =x-Yうんマイナスだだからえ1/倍 のこっち は え2T-2 ん ええ2- 22T+1/2どっちがどっちだっ け2T+ 1/2Tが1こっちの方が こっちの方が緩やかだてかこっち だで こっち1/6倍のえ2- 2 かベ マアの3 乗+1/6倍のこっちは下につマイナスえ 2T+2 1/2でいいの かベ-アの3だから えまずベ-アこれが2√2の√1-T2の 3じゃん うんでこれ が1/6倍の16√2√あ1-T2の32 乗 ジン かるあ もう一応 ね別に普段だったらしない よ2はい 11-T1+1 と1 お3 の8√2√1-T にですかかこ2v1とV2の共通部分の 体積 derだ からパタッて折り返したってことよ ね [音楽] うーんV1を切ったらこうでV2を切っ たら今度

はこれをこうやって切る場合とこうやって 切られる場合 ここの部分 とここの部分一緒 だ逆にこっちの時 のだからべって入れ替えたのと一緒 かうんと つまり-1からこう緩やか にし て位 を急にしたこう か だからここの部分の面積に対応しますよ とそうすると 結局これ対称性より4倍すればいいんだ けど4倍したもの の0から1 まで これを積分した もの √2-2T 下√1-y DYこれって 結局4√2√1-Tで0から1 まで1-yの3/2乗 -31代入して0代入してだからここ 2/38√2√1マTでこれ をTが0から1まで積分してあげ てこの2 倍√2か 23932√ 2うわあできたけどこれ第6問えぐい第6 問自信ないじゃ自信あるとこだけから一旦 ちょっと答え行くわ はい行きます自信があるとこは第1問はい うんこれは絶対やってる でしょえっと第1問 がaが 1/2はいBはなんとプラマ2√3どっち もあるなんと正解ですはい 大門にも自信はある はい自信あります ほ自信はあるん ですあるんですねあり ます自信 はあり ますいかが でしょう自信はない だろあり ますスタップ細胞と一緒 だ自信はあり ます自信はあります来ます はい -またははい 27小なりA小なり

3正 おしあ四角さんは自信はないですよし1回 飛ばそうか四角4えいこれは120° 120°からの ああオッケーパやったらあれやね23パ ですねまあ232/3でもどっちでもいい でしょうはい [音楽] ら√1/7√2/7√ 4正解正解正解えいえで四角5があかこ1 が ねかこ1計算だけちょっとしといた方が いいかなもう1 回かこ2はね自信 よ照明だ し うんすごい なあよく解き続けてる な こ狂気りあり そうそうね あまりにちょっとえぐい から絶対にせいですということで左辺は 考えなくて いい続いて うX2マ3Y2- 1x-Y3-Yなり 0これを3/2Y2-1+√9Y4-6y 2+ 1+4y3-4YはいX台 なり はい大きい2のはい3Y2-1+はい 大きいルトはいルの中4次式ですはいよし 9I4乗+4Y 3-6y2-4y+ 1 コキューthatrightでかこ 2まずYを37037370370って いうのをめっちゃ続けますはい別に何回と かも多ければ多いほどいいっすはいXは 10のもうとんでもなく大きい上にします はい大きければ大きいほどいいですはいで かこ1の不等式を満たすぐらいXをでかく しますはいX代なり2何とかでまXを めっちゃ大きくすればいくらでも大きく なりますね はいこんなXとYを選んでか1の不等式に ぶち込みますはいそうするとなんと3YX 2のこが 1111ってなり ますなるほど でx3はまXがめちゃくちゃでかいから その11111の部分に干渉しないぐらい の先のところにくを立てます はいで右辺はまそのx3+3YX2にx2

が立つ足されるんだけど3y+1×2なん だけど3Y+1は 1111がずっとついて2っで最後に 終わるそんな数 ですそれに挟まれてる数は当然1の部分を 含みますだからが連続して99回以上 現れるところがあるし別に99回でも 999回でも2024回でも何回でもそれ をYをめっちゃ大きくしてXをさらに めちゃめちゃでかくして作ることができ ます大丈夫だと思いますはいちょっと マイクの充電はいオッケーありがとうじゃ えよさてさてここまではいいでしょう 問題 は 36ですん 3636はね奇問だ ね36ね3のかこ1ぐらいはね合ってると 思うのよいけるのよ のNが偶数と奇数で倍分けされてるやつ おそれはどうかなみたい な騙されないよ絶対そうだ もん で 一旦順番おっ てS=4のM乗M2乗の無限 は これ1/4倍すると4の2の242あ2/ の2となるので34Sっていうのが4/4 +4/の+4/の5+という形になります これってすなわちなんと ね1/4+4の+4の3+点点これを2倍 して1/4+4/の1/+4の1+点点 こういう風にしたものになるんだ よなので=2tu という風になるわけ ですよろしいでしょう かじゃあT =1/4+4/の2+4の3+これも結局 1/4T=4/の2+2/+はい3/4T =1/44 のでUになるんだよTが43Uということ は3 の8U55USは9の20 Uということ でSが9 UTが4UでしかもUがなん と1/4かこれですから1/3という風に なるわけ ですです ね うん431/41/はいということでSが 2720tが4/9Uが1/3っていう風 に求まるわけなんだけどこれは2 下440-5

9 + 414/740-9+ 4760-2/+ 2/73616うん1/7になりそうなん ですよ3は ねなんです かその過程が果たして本当に合っているの かなM=3の 時8 のでも2個ね入れて合ってれば合ってるん だよね2の6乗分の3918-15+ 47合ってる わき ます はい四角3 番はいか1はいNが偶数の時はい2のN+ 1 nnが奇数の 時2のN+2の待って 応えっと444回投げてるわけでしょ4回 の時Bの奇数で勝利だ からうんオッケーBNがキの 時2のN+2N-1N- 3 えっと偶数数申し訳ないもう1回ゆっくり もう少しゆっくりしていいですかはいNが 偶数の時はい確率は2のN+1乗 nnn2のn +nなるほど なるほどなるほどえちょっと待ってN= 2mとかって書いてM使って表してる回答 いやNで N 一旦保留にしようか なえだってこれ表記入れもクソもないもん な H え合ってる よ待ってNが奇数の時はいうね2のN+2 乗分の2のN+2乗のはいN1N 3 はいはいはいはいはいはい はいえうんだ分母がうん2のN+2乗そう で分子がN1N3そうグ 偶数 え分母が2のN+1 乗はい分子が N いや大丈夫 なんさっき めっちゃ逆に聞こえてしまっ たえあってるよねはい今あってますお よかった俺寝ぼけて言い間違えてる説も あるからゼロではないちょっと

あの言い間違いなのか聞き間違いなのかも ちょっとアーカイブアーカイブ で2のN+1乗n ねはい2のN+1のnnですはいほ良かっ たいやでもNが12345をねそれぞれ 調べて合ってるはずっていうの確認してる からねうんでかこ2がああNがキスの時が 2のN+2のN1N3 ねはいでかこ2がはいこれがね奇問です わ 2/27せよし いやこのね四角3ね奇問だった ねで四角6もすごいね難しいんだ よあ時間経ってるそりはそう四角6難しい もんでも一応答えは出してんのこれは ファイナルアンサーではない けどかこ1が38√2√1-以上で2が 39232√2っていう答は出ています しかしこれを今ファイナルアンサーとして 出すにはあまりにおぼつかなさすぎる ぐらいの 感じま塩水局面の法定式を出しました と妥当性チェックする か妥当性 チェック まどういうね妥当性チェックができる かっていう話なんです がいやだってあと3年分をさちゃんとやれ ば来週に繋がるわけだもんねそうですよ そこはあ5本 目 5本の写真がお亡くなりになられ たそりゃこんだけ書いてたらさなくなるわ な消もだいぶ丸くなったな本当だだよ今日 使い切るわけないかとか言ってたの に じゃあこの画面越しのみん局面の求め方 学んでいこうまずV1は直線bd をbdをえ軸にx軸ん違う正方形をくるっ と回転させるものだ よということ で今えACっていう円があってこれを底面 としてBが頂点の塩水とDが頂点の塩水 このこの2つがこの三角コがペって繋がっ てるものがV1になってるよこれをx=t っていう変な平面で切りたいそういう時に とりあえずね変な平面を切る時 にこの塩水のえ断面積あ断面じゃない塩水 の局面の方程式を求めることによってx= tをベって代入するだけでYとZのえYZ 座標に射影することができるようになるよ ねなのでこの方程式をうまく求めていき たいんだけどどういう風に考えるかという とこの円水上の点Pみたいに置いて あげようこのPを

XYZっていう形で置いてあげるとこのX とYとZが成り立つ関係式これ がえ塩水のね方程式になるよ ねじゃこの水の特徴って何かっていうと この中心とBを結んだOBからとBPの ナス角が常に一定になるようにえ塩水って いうのが動いてるとすなわちまその角度を シみたいに置くとcosシっていうのがあ cosシっていうかまシが常に一定とで その一定の角今回は45°だよね 45°ということでcosシ=√1/2 これを使ってあげる具体的に言うとBPと BOの内積っていうのがBPとBOの大き さのcosシ倍√1/2倍この関係式を 使ってあとはXYZの関係式をベって入れ てけばいいよねBの座標はえ110だから x-1y1あp-BをするとZとBOは- Bでうん-1-10とでまこれはこれの 大きさとこれの大きさか√1/2とえBO の大きさは√2だからここが消えるとBP の大きさは結局√2乗+2+Z2 とまこういう風になるのでここの部分が 結局-x-y+2っていうのを使ってあは 2乗し てね2乗してあげることによってまあとは ですねこの部分の1部分っていうことを 使ってあげればいいわけだけどえこれをま 式変形してあげればねx+y2の2=x- 1の2+y1の2+Zの2乗これによっ てまZの2=2xy-2x-2y+2って いう方程式が出せるというわけですこれが 分かるとでこれが合ってるかどうかの妥当 性チェックとしてえまず110を通ってる かなと2-2-2+20オッ続い て1-10を通ってるかな と1-10だからえ1-1うん -2-2+2+2オま-110も通ってる かなっていうことを確認すると うん同じ通ってるでもう1個ぐらいなんか 良さそうなところないかなって考えるけど OCのここが√2なわけだからここが√2 とつまり00√2うん通ってるねという ことでこれは問題なさそうだなていうこと が 分かる同じようにこっち側の塩水の局面は Z2=2XY+2x+2Y+2とこれも 同じく-1-10入れてみよう-え2- 2-2+2まいろんなやつを入れてみてえ 1 -10-2+2- 2+2うんあ成り立たない-2+2あ 成り立つよしで00√2もオー成り立つ そうということ でこういう風に方程式を求めることの メリットx=tで切断っていうのがすごく

簡単にね見通しが立つなぜかと言うとここ XにTを代入すればその絶断面っていうの が分かるからねすなわちx=tを代入する とZ2=2T2y +2-2 Tま2T2で割るとy=2T1/2Zの 2+1とはいまこういういうえ2次え2次 あ放物線を描くということがすぐに分かっ た便利ですねこれもx=tを入れることに よって2y+2T2T+2 y+22T+2=Z2ということからY =2T+1/2Zの2-1とまこんな感じ でx=tを代入してYとZの式で考える ことができるからYZ平面の切り口って いうのが求めることができるようになると いうわけなん です皆さんよろしいでしょう かここまでね出せれば 正直あと1息なんだよ ね 切り口がだから放物線と放物線で囲まれた 部分だから絶対もう1/6公式使って 瞬殺なんだけどここでさっき1/6公式 使って答えを出しました あえてこっち側の式で求めてみ ますそうすることによって答えがね合って るっていうことを自信持って言えますから ね はいまとりあえず交点の座標について はルZが√ 2√1-T2乗ということが分かったので Y は-T うんああこれ図形より明らかじゃ ん安心した図形より明らかでしたねという ことでマTと T -T と-Tのとこでこれを2倍してあげれば いいとということで-1から-tまでの 範囲まで範囲でこれを積分するんだけど これがどっち だこっちはこっちだだからY+1を2T+ 2倍して√取った やつ2T+2倍の√Y+1 DY+-Tから1まで何を積分するかと いう とこっちかy1の2T-2倍の√から√2 T- 2 だめダメです 危ない危ない√2-2Tね√2-2Tの√ 1-yとはいまこういう形になってそう すると2T+2かここは2/3y+1の 3/2乗ですよ

ね んここ√かここ√だここは√2-2T か 231-Yの 32でこれを-T-1という風に入れ替え てあげ ますあ-T1か失礼しましたこれによって √2T+2あ23あまか2/31-Tの 3/2+√2-2Tの2/倍の1+Tの 3/23/√2っていうのを一旦どかす ことができて√1+T1-Tの3/2乗+ え√1-Tの1+Tの3/2だから√1- T2でくる と1-T+1+Tだから2が出てくるよね 4√2√1-T2乗これを上下合わせると 8√ 2合ってるなこれ合ってるわで共通部分の 体積はって言ったら今度 はこういう風になるとだから0から1 まで0から1までさっき-Tから1まで 積分したこれを ま-1から0まで今度やってみる か-1から0 までこの2T+2√y+1を積分したもの あ√だえ [音楽] √これに0と-1を入れるから23 か 2√2下√T+ 1これをこれがここの部分だからこれが 1234あるよっていうこと か8倍すればい4倍すればいいんだよ ねうん4倍して8√2√T+1これが0 から1まで積分したものこれを-1から0 まで合わせて2倍すればいい33√2これ はフィナーレに向かっ て下走っ てる あれ違う 答え 危ないや危なっていうか違う答えで元々の 方が正しい わだって方程式違う もん うん方程式こっちは求めなくていいや じゃあ0から1まで積分したもの√2-2 T√1-2これを計算したもの を4枚する4√2√1- T じゃあ 答えもう出してしまおう かしら はいじゃあ答え出しますはいお願いします かこ1がはい8√2かはい√1-T 2√2を中に入れることもかはいはいはい

はいはいはいはい √だから√入れると83下√2-2T2 っていうことですねうん で過去2正解よし過去 23/9√ 2素晴らしいお素晴らしかっ たなんということだうわ1時間半かかっ たはあ難しかったいや難しかった違う なちなみにね はい第3問も第6問もうん割ともう最初の 段階で会ってたわ合ってたんだけど計算が えぐいしうんここでなんかねサクコスト じゃないけどうんここまで来たじゃんうん なんかちょっとちょっとやそっとのミスで さ無駄にしたくないなっていうのをね今 感じてるそうあと来週にね助けをつなげな きゃっていう ねまそういうのもあっ て もうね普段の150倍ぐらい丁寧に見直し てた解説もし ながらは疲れた2013年クリアはい 2013年が終わりということはこれで 11年終わりましたあと2年じゃんあ ですあと2年 では終われます一応7時19時前までとか ていう配信の時間的には枠的な話で言うと 19時前だでも行けそうじゃない余裕で このまま行けば行けますねなぜか5時 ぐらいになるなぜかさんが仮を挟んでない の でだったんだおそらく せ だちょっとお手洗い行くわはい もう よしこれねアドレナリンで乗り切ってる わ全然今から行ける 次あ待ってマイク マイク はい 忘れたわあ ざす よし で軽くお腹も空かないな もう今はただ問題を解きたいうんその 一心俺に問題を くれ問題はどこだ俺に問題をくれこちらに なりますありがとうございますよろしくお 願います2012年201年うわ第1問 多分初見だ なちなみに視聴者のみんながあのうん絶対 腰悪くなるやん大丈夫っって心配してくれ てけど本当に腰痛なんかね腰強いんだよね 強い 腰そう腰強いこれだけはね本当

になんかありがとうて感じ本当にねみんな めちゃめちゃ心配してくれてるえなんで いやあの眠くないかなって寝て くれあと2年あと2年あと2年で寝るよ はいだそうです原はこの走りきるそうなの で是非応援をお願いします2012 20101ってことでしょそうだねあと 201212終われは今日終了 です あのウィニングラの2010年 やる冗談冗談今日はやめとく わ 了解じゃあいいですかはいはいそれでは 2012年よいスタート はいまず2012年の第1問 が うん最大最小問題あ第2問 これ確率全科式のねいい問題ですね あの徹底基礎講座でも扱って ます 3計算問題4整数 問題来たうわ来た行列行列 ちょっとね56はねしかもさ重そうじゃ ないこの ボリュームいや [音楽] ねえ行列 かできるのかしらでもね行列はね基本 なんか記憶ではケリーハミルトンの定理と かま行列式逆行列とかそこら辺の話以外は もう数値計算ごり押しげだから大学入試 なんて 初戦第1 問x2+y-1の2乗小な= 1X大なり=2√2の領域D ねここと直線Lは原点を 通りDとの共通分が線分となるものと するその線分の長さLの最大値を求めよL が最大値を取る時x軸とLのナ角シの予言 cosシを求めよと うん まあシ使っている表せばいいんじゃない いいんじゃない のまずはえーここの円の長 さ円の元の長さを求めるとここが シだ からLはえsinシの2倍2sinシ引 今度はここの長さだからえ2√ 223√2下cosシ かもう勝利でしょこれ はということで このコえこれが最大値となるようなシを 求めたいけどパッと考える限りでは え工夫はできないので微分していき ましょう2cosシ-3√2

かえcos2のえsinシかその まんま3cos2シで√2も括れて√2 cosん3√2cos3 シ 引あ足ん引sinシ か うん なるほど 3√2cos23シ-sin シこれがシから0 からの範囲なわけだ から絶対単調現象単調 増プラスからマイナスに転じる瞬間がある とそう なる値Cアを求めればいいというわけです な333√2cos3シ=sin シ√1/2とかじゃない な3√1/2とか違う な うーん意外と見かけによらず難しいかも しれない解けんのか解けるな解けるわ 解けるわ 天才あのですねこれあの定石があって cosシとのだったらtanシに直せるん ですよ今回はそれを応用しましょう3√2 coscosシで割ると=tanシで cos2シが1+tan2 シじゃないtan-1だ ね ん違う1+tanがcos1/だから cos21+tan1 だ頭回ってないです ねまそれはいいとしてこれでtanシの2 次式に変換することができましたよという ことです2次式じゃないあ3自式だ解ける かわかん ないtan3シ+tan シもしこれで解けなかったら微分間違え てるなお√2 ああでも√2つっても逆側 か で えっとT2シ-√2tanシ 違うタンジン32シあそう引√2T頭回っ てないな√2-√2でこれが-2Tシだ から+ 3引3です ん いやいやいや何やってんねん引√2やろ ねえそう思うでしょ みんな足 3だからタンジンシが√2これは一応 マイナスああはいTシ√2 だ 最大値

かtanシが√ 21√2√3ま当然ここ交わるよねはいて いうかラジLが正の時点で絶対交わって るっていうこと だか1√2√3なのでcosが√ 13sinシ が2√2 ですでその最大 値√32√2-2√2 か√ 32√6-3√ 66√6 だ意外とね見かけによらず難しかった ね一応単え√1/3と√2/入れる と3√ 3ルト3ああオッケーごめんティッシュ1 枚取ってほしいありがとう センキュー で は大門2 番でれん大門2番は確率全科式の両も です じゃあヘアピキを定める部屋1つの弾が ヘアPを出発し1秒ごとに等確率で移動 する弾がN秒後に部屋Qにある確率を 求めよう確率全科式のポイント丸 1スイズを考える丸2ポイント確率の輪が 1他に考えるべきこと対称性ですはい対称 性を使うとうまくいくことがあるよと続い て物によっては偶ま物によっては4の倍数 3ね6の倍数3の倍数5の倍数ま何でも あり得るかもしれないけれども 空気これが重要 です今回の場合は えーね奇数盤目の時はこの上に向いてる 三角形しか止まらなくてえ偶数の時は下に 向いてる三角形しか止まんないよっていう ことをまず は気づくとこれが重要ですねはいという ことでNが偶数の時 0ごめんなさいNが奇数の時0 ですはいこれがねまずすぐに分かること ですねでは続いてNが偶数の 時この時は全科式を立てるべきでまどう やってね求めればいいかと言と何でもいい んですよPにある場合うんどうしよっかな Qにある場合直接に求めちゃう かQにあるまここRだとするとPRにある 場合でnn+2 とでこれを qn1- qnまNが偶数 ねここでを考えますqn+2え元々Qに あったのがまたQに戻ってくる確率って いうのは行って戻る行って戻る行って戻る

です ねだから えっと 123113+こっちに行ったら13 か2択あるから1/2 こっちも1/+ 1/2/2だから23の確率でまた戻って きますよ とそうだね逆に逃げちゃうのが3ま1/3 1/21/31/2だから33うん オッケー逆にPかRにいたのがQにやって くるよっていう場合はPにいる場合は1/ 1/2Rも1//ということで1/6なん ですこれにより9N+2=ま23ま丁寧に 書く とまこういう全科式を立てることができて 1/2qn+6というわけですねまこれは あとはえ全科式解いてあげると1/3 が回だからqn= 13 + 0-1の1/2のNあnn乗かQ0って いうのは 0ということで答え1倍の1-2のN とまこんな感じで答えを出すことができけ ですま一応Nが2の時考えておく と1/か1/2で1/6だよねNが2の 時6になってます ねNが0の 時0になってますねNが4の 時1/4になってるはずなんだけど Nが4の時 は うーん今健山して ます これ計算して1/4になればほぼあってる でしょう 1/9+1/3か12/+ 1/22/2+全あなってるオ36の94 じゃあ合ってるこれで答えファイナル アンサー 四角 3はい座標平面上で2つの不 等式えっとY が1/2×2 以上X2/42+42少な= 1/8Xが2/2√2–22√2 とXが0の時は1/2だからこんな 感じすごいベタって貼り付いてます ねの 内側ここ かによって定まる気はSとするSをx軸の 周に回転してでき立体積をV1とし自己の に回転できる うわあまあまあまあ高点求めますか計算

面倒くさって思ったけど意外とそんな別に 鬼畜ではなかったな [音楽] 24/2 y+4y2= 1/8だからはえ とy2+1/2-1/2=01/4と 1/8にできる ねYが1/8 かYが1/8ということは ん1/2かプラマ1/2でYが1/8の時 にえっと今ねy軸回りの回転体は2 パターンで解こうとしてますバーム空辺型 積分での求め方と普通にy軸方向での積分 どっちもねやってみて答えが合ってれば よしきっと合ってるだろうという方針 で 2/8 1/22うん交点はあってそうじゃあV1 は まず2倍するところのえ0から1/2まで 積分しますよと何 を上 は4y2=-42+1/8だからY2はえ -162+3の2乗あ5忘れないようにね 5を忘れないように引 1/4X4 乗 です違い ます このYえっと上のね方程式はもうy2乗さ れてるので2乗する必要ないんです本当だ ね言われてみればそうでしたということで え32でくっときますそうすると-8x 4- 2×2+ 1なのでここがえ -85×5-2×3+xという風になるの で5/16 かまXで括るかXで括ると1/2倍のX4 に1とだから1-23か1/4 1/6- 8/51/16だから 1010え56-1/10は2/25-3 え22 1/ 1/え 1080うん 絶対後で計算し直す次V2V2=うん どっちでもいいなバーム空辺型でもバーム 空編型で1回やってみよう今から2 パターンで解きますy軸回転体はまあの 有名なねバーム空辺型積分があるので えま理屈をちゃんと押えときましょうX からX+DXの幅を回転させるとえその

演習の部分が2パXFえ25 xで求まるとだから年輪みたいなやつなん だけどそれをペラてめくってあげるとこの 週の部分が横の長さに2パXに対応して 厚みの部分が DXDXで高さの部分が上-下 と うん上が複雑だけどあでもそっかXが前に 出てるからいいの か上 引下で下が1/2×2乗っていう風にすぐ 求めることができるんだけど上がこれを ルートしたものだから-1/12+1/2 の√という形になるわけですでも大丈夫 この中身の微分が外に出てくるだけだ から え-162+1/2とやらをこれを微分し てみようそうすると 32 か -11/xっていうのが出てくる-16 3xなんだよね-をかけて相1/6×3 1/20とということ でまあ1/2入れると1/4 -1/4 と0入れると-1/2の32乗 うわあとんでも ない計算かもしれ ない-倍の64 の2の32の62の 9-2の5 乗2の7. 52の8√ 2-1/6 か 1/816をかけることによって一気に 見栄が良くなる-13下2の5分の1-2 √ 2-まあ 1/48ま [音楽] 2/6 3248 下-1+2√2 引 22√2- 3うんこれも絶対もう1回計算し直し ますどうやるかってy軸積分を するy軸方向の積分をしますえ0から1/ まで はえ えX2は2yお2yPi DY+1/ から今度はここX接はえ0の 時こっちのが断然楽だバーム空辺型積分

なんてね頼らなくていいん ですこっちの方が圧倒的楽だ もんえXが0の時y2は 1/22/8√2 かでこれの積分は何をするかと言うとここ の部分 [音楽] えy2DYだ からん違うX2 DYX2乗 は どこだ方程式方程式見当たらなくなっ ちゃったX2 は-4y2+1/8の4倍-16y2+ 1/2です ねあ マイナス16Y 2+1/2 とy2乗だから 1/64圧倒的にこっちの方が簡単だな -3316倍のY 38だから1/2 か2/8√ 2-1/41/8ぐら+え1/2倍の2/ √2-1/8 と計算すると16で一気 にスマート にパ倍の 64- 1//√ 2-2 +1/1√2- 1/6 倍の√2含項は2/6√2 [音楽] 2/4√ 2含まないのは1/4+1/6- 1/ま1/16で括れ ば1/4+ 1/6- 1/12 -2 1292ということで192で通分する と5倍の8√2-7はい違う答えが出てき まし たどっちが正しいんだ ううV2=2XFXDXFX は大きい方は√-162+1/2 ちっちゃい方が2x 2 ん332だ なと思ったら違うわ合ってるわ3/2か -8xが出てくるもん ね -1xは-で中和して

あげる1/2入れる と ん [音楽] うん うん OG合ってる な いやあ計算合わせられない なあ1/2を代入する と1/8-1/8うんどっちも1/8です [音楽] ね うんびっくりし た1/8X4乗やないです か これ計算 2つ答えがあったら暑い よとても 熱い合わな そうとっても合わな そう おあっ たということ でこれは合ってるだろう肝心のV1 はあ今ね1と四角2は多分いける ええで四角3ははいV2はy軸回転のやつ をバウム空辺型積分と普通のy軸方向の 積分でどっちも同じあの値になったから はいはいはいはい合ってるだろうでV1に 関しては うん 2のと1の大小判定性が2だからこれが すごいシビアな比較になればあってるだろ うっていうことはできるよねでもそれを 計算多分えぐいことになるからより正確に ちょっと求めるようにし たい5の0から1/2までの範囲で2倍 するところ の上の2乗引下の2乗下の2乗が1/4X の4乗上の2乗 が-162乗+1/2 ああ意外とスムスムーズというかスリムな 積分です ねあえてくらずに工夫せずにやってみ ます倍の-2 1/1- 1/84+ 1/2うわあ汚い ねでも最初の2項 で 19232 6 5 –

3210だから22の 32 25-322 おあってるでしょよしかこ2V2と11の 大小関係V 28/9√2-R 7 これは出題者は何をさせたい問題だだろう かこれ は理解に苦しむ ね22の5倍の8√2- 7これが1より大きいかどう かうんうんうんつまり√2-35と22 40√2と57の大償を考えたくて2乗 すると [音楽] 3200おおおシビアシビアな 比較正なり1ということになりまし た まあ積分計算は合ってる はず最後にあの復習復習というか検算はし ます四角4N20はいこれあパスコードね ほいNを2以上の整数とする視線数のN上 になる数をN乗数と呼ぶことにする 連続する2個の自然数の積はN乗数でない ことを 示せまあだからこれは簡単ですねAA+1 がN乗数という話なんだけどこれが互いに そうです とはい AとA+1は互いにそうなので掛け合わせ あ掛け合わせてN乗数ということはどちら もN乗数じゃなきゃいけ ないでも隣あってN乗ありえないでしょ うっていう話だ ねどちらもN上まだからA=KのN乗a+ 1=Lの N A+1がKのN乗より大きくてK+1のN 乗より 小さいでいい かKのN+1っていうのがKのN乗より 大きしK+1のN乗小さいからOK と思ったけどK=1の場合だけ一応K=1 の場合は1か2=2でNGはいかこ2連続 するn個の自然数の席はN乗数でないこと を 示せ [音楽] うん まあ となうんこれも一緒だね連続するn個の 自然数の 積 えっとまA下A+1点点10下Bこれがn

個だとしたらこれはAのN乗より大きくて BのN乗より小さいということでえN乗数 である時これはなんとかの N上まラジAのN上っていう形でそれはA +1からB1の間だけどラA1とラAは 互いにそうですよとこれでいけるな四角5 はい 行列ちょっと四角はここに続きで書きます 過 1行列AABCDが次の条件で読みたする aの成分ABCでは整数 ある平面中の 4.00 ABA+CBB+ D CDは面積地の平行真規の4つの頂点を なすADBCの絶対値が 1えB=1101速次のに答を1行列BA とBのインバースAも条件Dを満たすこと を示せ とAD-BCの絶対値が1であるならばて いうかま絶対そうなんだけどね行列式の席 だ からでも 一応ちゃんとね示しておきます か A+CB+ D CDはいこれかけるこれの差はAD+ CD [音楽] BCうんで1とでBインバースは 11 -10 よりこれにAをかける とえACCBDDクロスするとADCD BC+CDはいADBC1オ 確認=0なら ばAにBBインバースのどちらかを左から 上々に次々にかけていくことによって4個 の行列これのどれかにできることを 示せ Bのどちらかを左から次々にかけることに よりまCが0だっ たらADDの絶対値が1 とだからAとD がま111-1-11-1-1の4択なん です よそういうこと でしょ BA仮に 1101 AB 0dだとし て

AB+ D DああADDがね1だから ねBがB+ D うんBインバースA=1 -101A0B D A 0B DDをだからD がまずAとDが複合道順あ複合任意で 11でB+DとBDなんだけどD が1をは-1なわけですもんだから どんどん1増やすか1減らすっていう操作 をできるだからBが正か負にてどっちの 操作をするかっていうのを決めてけばいい よねっていう話だね過去 3 よし Xの対値+Zの絶対 値A+Cの絶対値+Cの絶対値小なりAの 絶対値+Cの絶対値はA1のCの値+Cの 絶対値なりaの値+Cの絶対値これ結局 消えるからAの絶対値はA+Cの絶対値か A-Cの絶対値のどっちか より大きいあどっちかより大きいことを 示せていうこと でしょわあおしゃれな解き方でとこうか なこれすごくねおしゃれな解き方で解ける な絶対のね三角不等式で足したら2倍の 絶対1A がんあそう2倍えっと足したらA+Cの 絶対値+A-Cの絶対値っていうの は2倍のA絶対 値い かあ違うわなんでもない 忘れて くれと思ったけどいやいいえ忘れないで くれ はあだめだ違ったおしゃれな時方いけんな と思ったけど行けなかっ たAの絶対値台なり正なりイコールC絶対 1正なり0と する うんなんか簡単そうなのに なあ よしわあA2乗Cの2 乗 うんそういうこと か これまたは これこういうことか領域の方眼関係 で完了大門 6あと

う計算すご そう計算がすご そうで もAとかBとか が成分ほとんどないおかげで楽に計算 できるのかもしれ ない計算 [音楽] 楽想 楕円っぽい楕円だ 絶対拡大してる もん ただの 計算引 BA引Bあ行けるやん綺麗になり そう 綺麗になる気が する 聞くだ から1-Bcos2Tか これも-Acos2Tか全部a-bで くれるねa-bくるところ のcos2TsinTcosTsinT cos T-cos2 tuが また回転させんの かでもさっき のUTA-UT がうーんだめかAが1bが -1aが1-bが-1cosTsinT- sinTcossin TAが1bが-1だからここがプラスここ はマイナスになっ て-Xはああ-Xあちゃちゃ ちゃcosxsin xcosxこっちは cos2x+sin 2xcossinxcos2sinx cosx はい2sinxcos xsin2-cos-cos2x-sin 2xということでこれはcos 2xsin2xsin2x-cos2x これを書きあわせれば きっといい感じになるんじゃ ない ああ 対格 うわあ ええ最大値 MT お合成 だ 合成でも何でもなかったただの加法

定義でXが変わるからこれが-1から最大 値MTは2a-bのT は各実数だからcosTは絶対1つけ なきゃいけないの か絶対やってるこんな綺麗待ってaとbは はい うんこれはこんな綺麗になるんだったら きっと合って いる [音楽] うー再変低変頑張って計算 するさ辺低くへ頑張って計算するこの左辺 と右辺頑張って計算して さとるこれちょっと待っ てUTAU-Tこれもうちょいちゃんと 計算しとけばよかっ た引Bのところが余計だったなあここと こここれと これ でわ AのCBのCにすればいいAのCBの [音楽] cdをかけんの最後に ええAのCcos2T+Bのcsin2 TAのC-BのcsinTcosTAの csin2T+BのCcos2 TAAのC-Bの [音楽] csinTcos T にDを書けるのなん で00a1-c乗ま左辺だけ計算するか 一旦は2倍の AのCBの1-Ccos2T+Bsin2 Tはい と+Asin2T +Aの1-CBのCcos2T とわけ です さこれが左辺右辺 はUTA-UT+Bにすんのね今度 はの対角ってことはここのあa+ [音楽] b+b+a+b引く2かこい引Bcos Tん合ってる か うーん 左- [音楽] 右の半分 はAのCBの1マC乗cos2乗Tこれが 0以上っていうことを示せばいいの か2倍のABcosT と うーんどないしよう

かしらどうしようかな 要はこれの最小値が0以上になればよくて どんなにちっちゃくても0以上だよねって いうことが言えればいいですよ とでそうする とま一旦sin2T全部1-cos2Tに 変えるかそうすることによっ てcos2TのところがACCB-1A 1-CBC-A Bとなり-a+b+2倍のABcosTの 絶対値という風に変換できますよとだから cos Tの2次式なの か全ての実数Tに対しだから1番 ちっちゃくなる時だからそれぞれ動かして いくんだなこれは0 以上1 か Cは0以上1かじゃ1番ちっちゃくなる時 っていうのを考えていきたくてこれはAが Bの時AがBの時だからこれがB+B2B BABAcos2 T-A+B+2倍のAB cosTの絶対 値いいんじゃ ないabでくくると マcosTの絶対 値-1の2乗かな-2倍の+2倍のAB+ 1だから+AB ってなで相殺し て-A- B-2 BcosTの絶対値は0から1ということ から0から 11番ちっちゃいのが1の時 あれ全ての実数に対してこうなるわけじゃ ない じゃん変形ミスしてるか な今第6問のラストの計算ですごく 手間取ってます 一旦 ちょっとこうガッとなると1回ね別の問題 ってもう1回パッと見ると案外ミスに 気づけたりするので第1問 とりあえず行っちゃいますあ はいちゃいます うんLが正明も行っちゃい ます正文照明あ照明もいっちゃおう ちょっと ティーチャーティーチャー TE証明 問題むず そうしちょっとあの 僕だとあれもう 少し

もらえみんな ねそっか出勤し出してるの か出勤タイム かえcos2乗分 の 3√2cos3シ=sinシでこれcos シが√13sinシが√23√2の 時 よしじゃ証明 問題えでも証明問題ああ12345全部 いけるわマジうん6 だけちょっとね 三角まず第1 問 レンラージL =√6うんちょっと待って 一応えっとcosシをまず言うねはい√ 13えっとでも両方でいいんだよねえ cosシとLの最大値両方でいいですね ええどっちか先とかで ははい合ってますはいLが33√6で cosシが√ 13正解おしで四角 にNが奇数の時0Nが偶数の時3でくくっ て1-1/2の22N 上過去です正解オで第3問第3問はV1が 1/80はいV2がえっと 1228√2-7 正解でかこ2が え1より 小さいイエス オで4がはい4はえっと連続する2個の 自然数の積はN乗数でないだから連続する 2個の自然数aa+1みたいに置くとAと A+1は互いにそう ですなので かけてN乗数ということはAもA+1も どちらもN乗数じゃなきゃいけませ んそうするとまA+1っていうのがあ じゃあAをKのN乗ってするとその次のK のN+1っていうのはKのNより大きくK +1のNより 小さいただここK=1の場合うんいや絶対 そうだじゃなんでもないよりえ不適なので え入り法に入り法によりえN上数でないっ ていうのが括 1少々お待ちください はいうん連続する2つの数は互いにそだ から互いにそということは はい かけてN乗数になるためにはどっちもN 乗数じゃなきゃいけない隣り合うN乗数 っってないよねていうことをま不等式評価 で示したというわけ ですオケですオでかこ2はえっと連続する

N個の自然数の積がN上数でないっていう のはまそれすなわち まN連続するN項をAからBまでの席だと すると その数っていうのがえAA+1からBえB -1の間のどれかのN上ってことになる じゃんでそれをじゃあなんかラージAって おくとラージAの1個手前ま1個後でも どっちでもいいんだけどが絶対に存在し てそれ はそれは えとにだからそれが掛け合わせれてる時点 で次の方がいいな次のものが絶対存在する わけよ次の問題が絶対あ次のやつが存在 するんだけどAラージAとラA+1が互い にそうだからラA+1をかけてラAのN上 っていう数になることはないよって配り法 によりN上数で ない オッケーですイエイじゃあ四角5のか1も いっちゃおうかなでもか1四角はね 簡単まずかこ1 が えっと要は条件DってAD-BCの絶対値 が1っていうことを言いたく てが満たされてればよくてえっとBAって いうのはそれまA+CB+DCDっていう 成分BインバースAはA-CB-DCD っていう成分それぞれクロスして差取ると 同じくAD-BCまの絶対値を計算すると 1だから条件Dを満たしますよ とクロスして差を取って絶対値が1になれ ばいいからそれ計算してる だけオッケーですはいでかこ2はえっと まずCが0の時ADの絶対値が1だから ADはプラマ1プラマ1の複合2位になり ます とで続い てそれを踏まえた上でえっとBBAを計算 するとま対角成分ま左下と対角成分全部 そのままで右上の成分だけがB+DでDが 1か-1ねでBインバースAも計算すると 同じく下三角形3つはそのままで右上だけ B-Dに変わってますよととするとBを かけるかBインバースをかけるかによって Dがプラスされるかマイナスされるか 言い換えると1を増やすか1を減らす かっていうのを好に行うことができますよ と右上の成分だけ をそうするとえっとAのAのまだからBが 正だったら1をB回減らして0にできるし Bが負だったら1をせB回1を-B回 増やして0にできるでこの時まCが0な わけだからA00dってなるわけなんだ けどAとDっていうのはまさっき言った

通りプ-1+-1の複合2位なわけだから この4個の行列のどれかにできるよねって ことが言えます と右要は右上の成分を1増やすか-1 増やすかっていうことを自由自在にできる から増やし続けたり減らし続けたりすると 右上の成分を0にできるっていう話要約 すると ありがとうございます オでかこ3については えっとこれ正規の解き方じゃないかもしれ ないんだ けど俺がやったのはえXがA+ZあA+C Zが CじゃないですかということでA+Cの 絶対足すあえっとねこれをこの不等式に 入れる と求めたいのはAの絶対値がA+Cの絶対 値あるいはA-Cの絶対値のどっちかより かは大きいということを示してくださいっ ていう問題なわけ よあ不合が符号で場合分け4回すれば 良かったのかま符号で4回倍することも できるけど俺がやったのはえどえっと どっちも0より大きいていうことを利用し てま0以上であるっていうことを利用して え2乗しました2乗すると絶対値外せる からそうする と えっとまあえっと ね求めたい領域っていうのはC2A+Cが 負あるいはC-2A+Cがのいずれかを 満たすということでえっとねC=2AとC =-2Aのこの罰点のこのなんか長長型の 部分を取り得るわけよこれ同地変形する と 一方えっとAとCの範囲のAの絶対値代 なり=Cの絶対値代なり0の条件っていう のはま同じく長長型なんだけどさっきのは 2A-2Aだとに対してA-Aのは中の 長長型の部分になってるとそうすると集合 の方眼関係よりえ条件より もどちらか一方を 満たすこっちのが広からこれならばこれを 満たすって言え るっていう2乗 し多分正規の解き方じゃないかも場合分け すれば解ける からちょっと見てくださいこちらです デデンまずA+Cの絶対値 とあここ腰に 見るまこういう風に解いたんですがA+C の絶対値ちょっと 最大ここら辺か3の解き方えっと一応Aの 絶対値代なり=Cの絶対値代なり0これが

条件として与えられてるわけよこの条件の もA+Cの絶対値なりAの絶対値あるいは A-Cの絶対値小なりAの絶対値この いずれかが成り立つということを示したい 絶対値は絶対に正ま0以上より2乗しても 同地性を失われないよってまこれを2乗し て計算するとこのようになってまこっちも 2乗して計算するとまA2の項が消えてC で括れますよ とでCでくることによってまこれを図する と このま結局これまたはこれの領域ってこの 長長型の中にあるっていうことが分かる わけ同様にAの絶対値代なり=Cの絶対値 代なり0っていうのは2乗して同地変形 するとまこの長長型の中にあるかつまCの と=0ということで集合の方眼換気より これが成り立つならばこれがこれまたは これが成り立つということが示せる というロジック ですいかが でしょうはいいいと思いますありござい ますござます間違ってないもんな絶対で 問題のね6のねかこ2が今示せてなくて はいワンチャンかこ1のせいかもしれない からかこ1からもう1回計算し直そう聴し まし たえあと何年だっけこれでこれでえ12年 だから残り残り1年これができたら残り1 年です暑い な今この枠ってどれぐらいある続いてる えっとでも ねまだ8時間か7時間ぐあじゃちょうど いい感じか も今後何回も出てくるこの計算今のうちに しとき ましょう行列ななんかただの今年に関して はゴリ押しな気が するだから AAでしょ でBB でしょAcos2x+bsin2 X sin2x+bcos2 xということ でここマイナスですわAsincos 3- B まずこれをちゃんと肝に命じて おこうこれが公式 です Aが1bが-1を入れれ ば- 1cos2xsin2xsin 2xうん-cos2x

ける引Bをすることによって 全部abでくれるcos2TsinT cosTsinTcos T おんあA引くのか ああ [音楽] うん よ 何やってん ねん自分で計算観客化するために悪にした のにそれに惑わされ てる お じゃあcosTでくれ て 行きまし た おおはい [音楽] 終わり地目を切り裂くようにはいか1行き ますはい2a-bのcosT倍のcosT の絶対1倍あ表記売れあるか も 正解はいでかこ2ははいまず左辺を計算し たらま左辺引右辺を計算しますはいそう する とえっと ねcos2Tで括るところ がACB1-c+a1-cbc-ab +a-bのcosTの絶対1倍あこれは あの左辺引右辺の半分なんだけど正確には 左辺-右辺の半分がcos2Tでくる ところのACCB1-c+a1-cbc- ab過去地+abcosTの絶対値です とでえっと注目すべきはAのC乗Bの1- CとAの1-CBのCこれをまなるべく ちっちゃくしたいって考えた時 にどっちもBにに置き換えていいわけだよ ねA代なり=B代なり0だからでかつ cos2Tも0以上だからBに置き換え ちゃうとAのC乗Bの1-Cもbにaの1 -CBのCもBに置き換わりますとそう すると結局全体とし てえマナあabで括ることができ てまabcosTでくれることのねA-B cosTの絶対値でくるところの1- cosTの絶対値でAもabも正だし cosTの絶対値も正だし1-cosTの 絶対値も正正というか0以上ということで 0以上が示されたというわけ ですすいませんもう1度よろしお願いでき ますかはいお願いします えっとかこ2の左辺引右辺を計算したい はいで正直ただのゴリ押しゲですはい左辺

引右辺の半分を計算する と書くわ3辺-右辺 =えcos2Tで括るところのACCBの 1-C+A1CBのc-ab+abの cosTの絶対1倍 という風になるわけです よこんな感じです ねでこのAのC乗Bの1-C乗とAの1- C乗BのC乗共にB以上 ということが言えるわけです これをすることによってまダナコールまB これ消してBAだからABでくることが できてしかもcos2TはcosTの絶対 値の2乗だからcosTの絶対値でも括れ てそうすると1-cosTの絶対値みたい な形になって0以上0以上0以上0以上 示され た いかが でしょう少々お待ち ください平方完成してもいいんだけどね もちろん げさんうんあの回答例だとうんあの相加場 平均使ってたりするんだけどなんかそう いったのの変わりというかになるポイント というかみたいなん て相加相場 平均AのC上Bの1枚C乗でとか例えば 違うかどこで使うんだ えっとちなみに相加相場平均 は えっとなんて言うんだろう結局22-bの 2乗っていうものからの派生として 導けるものではあるから うんたまたまあ相加相場平均の不等式で 使うものを普通に左辺差を取って0以上 って示せたとしても何の不思議もないうん ふん ふんちなみに回答例はつまり左辺を相加 相場平均使ってごちゃごちゃやったら右辺 にたどり着くっていう計算して るってことそういうわけじゃない か えどこで使っ てる左辺引く右辺してぐちゃぐちゃして うんぐちゃぐちゃしたその一部を総括掃除 平均使ってど処理してるみたい なま加場ま まこだわる必必要はないと思いますなんか そうです回答で見ていい逆 に ああそれはねすごい シンプルCをCを残したまま変形してる からはいはいはい俺はC邪魔だなって思っ たのようんうんうんで要はこれ何求めたい

かって左辺引右辺をもうABC 全ての変数をガーって動かしてどう動かし ても0以上っっていう状態であれば証明 できるわけよ うんだ からその32辺引右辺をなるべく小さくし たいなって思うわけじゃんあま左辺低辺を なるべく小さくして最小値ですら0以上 うんてことを考えるわけよ最小値ですらね そう時に結局式変形してく中でCがあ 違うこのACCB1-C+Aの1-CBの Cがそこをそのそこの箇所においてAをB に変換したものこれとで不等式であの挟む 挟むというかダイナコその式っていう形に できるわけ よえっとAのCBの1- こちらAのえっとAダナ=Bなのでaダナ =bなのでBのCかBの1枚のCに 置き換えてこれB以上っていう風に変換 できるのよはいはいはいはいはいはいはい はいなるほどこっちも同様にB以上に 置き換えられるわけよこれによってCを 完全に消した状態でる式変を進められ るっていうでその結果いい感じに0以上を 含になっただから えっとそっちの方が 多分評価としては厳しいことをしている要 はA=そう厳密にというかままそうそうで もこのCを消すためにこれB以上だっっ たらいいかなと思ったらめっちゃくれて いい感じに0以上全部0以上の甲で固める ことができたからどっちみち示すたって いうはいはいはいなるほど ありがとうございます よしいう感じですねはい2012 年 クリア嬉しい 嬉しなんかさ解ける ねえなんかなんで解けんだろうそち落ち ないなんて言うんだろまでもいやさすがに 落ちてると思うんだけどなんかうんこのね 問はで扱っ たで大門1はただの計算問題あちょっとね うんちょっと冷やっとする計算があった えっとこれだ ね3√2cos3シsinシ=0となるシ を求め るって3√2cos3シsinシ=0これ 皆さん解けますかこれ皆さん解けますか これね結構ね悩むと思う最初うってなると 思うんだ けどまなんかcosシとsinシで与え られてるものってtanシまcosシで 割ってtanシ=なんとかて形にするって いうのをまなんか色々連想してる中で出て

きてあこれcosシで割ったらtanシの 資金できるじゃんって気づいてtanシの 識に変換したとこれはね結構計算問題だ けど面白いうんこれ初めて出あった正直 このタイプの式変形 へなんかすごいさ盲点だったわ盲点いやで もね出た出したことないわ俺 はなんかそのこの配信としなんか思ったの はまだ終わってないんだけどあのそれこそ その計算 ちょちょろっとしたそのなんだろう スマートに行こうとしてちょっとミスたり みたいなとかあれとなんかそのうんうわ これどうやったっけみたいなが出てこう へんのこんだけ追い詰められても全くない よねうんそれがすごいだっと思ってどう やるんだっけはないねどうやってるんだっ けっていうかなんかどうやればいいんだろ うっていうところでうんあんまり詰まって 確かにない気もね思考プロうん 計算だけだもんな第5問第6問第4問は 発想ちゃ発想か第3問も計算だけ第2問は 徹底基礎座で扱っ てるこれはね計算ゴリゴリ手動かしてる うちに気づいたら溶けてるっていう問題だ ね一通り まだからうん思考プロセスが完全にクリア に言語化されてるわけですよ強すぎるはい 溶けちゃう ね次がたね次ラストはい えそうですね今日はラスト今日はラスト です12年解いたのでえ次2011年を 解いたらよしこれで今日終わりになります よし19時間ぶっ通しで東台数が解いてた から ねもう通り越して通り越してバカなんだよ なすごいわでも次で解けない問題が全然 来るかもしん ない本当にねいつ来てもおかしくないから これ終わったら思すぎだここでねね止まっ たら来週にこれで持ち越しますとか言って 持ち越さないんかいっていう ねじゃそのままはい行きますか行きます はいではこちら2011年の問題です よっしゃ よし よしでは本日ラストですねはい頑張って いきましょう気合入れてきます2011 年度よいスタート スタート第1問最大最小問題第2 問謎第3 問積分第4問奇跡奇跡は得意です第5問 個数倍の数かな大門6 体積待ってこの大門6なんか難しいみたい な感じ

のイメージあるめっちゃ昔解いたことある けど さて2011年ラスト行きます大門110 P01を中心とする半期1の円をCとする はい 中心01でしょ暗記1でしょでえy=a- だからここでしょ-1を通っ て傾き0から1だからここに通るの かQと R三角形pqrの面積を 求めよう ん半期1でしょ点と直線の距離で高さが 分かり ます01と AX-y+a=0と01だから√A2+ 1-1+Aの絶対 値ですとでAが0から1の範囲なので1- Aですね これ がここの長さということでここの長さって いうのも求めることができて1-A2+ 1-2A+A2すなわちA2+12 AだからSA はうわあ地味にめどくさい計算させるな これきっとA2+1の3/2の2A1-A こんな感じかでこれの妥当性チェックA= 0の時にちゃんと0になってるかなってる A=1の 時0になってる ねうんこんなんで妥当性チェックしていい のかままあまあまあ過1過 2SAが最大となるAを求めよと はい うーんそうですね微分します か微分するしかないですねま1/2倍の 微分A2+1の3乗でここ分子はAA2乗 だから1-2 A 引まAA 2 か3/2倍のA2+1の1/2乗か2Aだ から3 Aまの3乗a2+1の1/2乗でくって あげる とえ1-2AとA2+1これ展開するか -2A3+a2-2A+1が1つ出てきて A2+1の1/2乗え3AかとA2-Aだ から+3A3-3A2ですということで この中身がA3-2A2-2A+ 11で1で因数分解できない-1 かうん うん はいということでこれはA+1A 2-3 A+1ですねちゃんと因数分解できてます

ねていうことを確認して はいこれは常にせせせこれが 32プラスマイナス√ 5だ からおそらく プラスマイナスでAが32-√5 でしょう 分からない けど とりあえず答えは出まし たさて四角にあ計算用紙を追加で補充し ますはあ計算問題だ な四角 に実数xの少数部分をこれかつXY-が セスの実数 Y うんなるほど 少数部分を考えるよ と [音楽] うーんだ からA1 が√2- 1A2は√2+1の少数部分だから√2- 1機能的に√2-1 かまこれに関してはいい でしょううんだ から13以上の実数Aを求めてくださいと つまり anっていうのが3 以下だから =あま3位 かあ違うわ1が3位かからanが13の時 は あだめだ逆数取ると0になっちゃうもん ねということでanは 1/3 [音楽] うーんanは1/3より大きいので1は3 未満とということで anは2 かうん 場合分けすればいいな2か3ラ3の範囲 と1から2の範囲の 時です とこの 時 [音楽] えっとan+1まA = 1- 2あるいはA=1-1っていうのを計算 すればA2+2A1=0A=-1+マ√2 こっちはA2-Aあ+A1=0A=2-1 +-√5でこの範囲に入ってるものていう

のを考えたいから Nが1/3から1/2に入ってるもの は√2- 1え1/2から1に入ってる方 は2/マ1+とこ かこの2つかなえか 3Aが有利数であるとするAは整数Pと 自然数Qをえて=PP以上の全てにNに 対してN=0であることを 示せ有数9Pだから9以上いけ ばanが0 ふーん減らしていけるよっていうこと かいつかは0になるよっていうことでしょ 逆数とって整数部分取ってるって連分数と 一緒だ ね [音楽] うんえっとAが9BPということ は まずA1 =9P ダッシュPダッシュ正なり9かA2は ひっくり返し てゆくのご情報を繰り返してるみたいな 感じだもんねユクリットのご情報を 繰り返していったらどんどんちっちゃく なるから0になるに決まってる か うんユクリットのご情報を繰り返していっ たらそりゃ そりゃそうです わだから えっと操作を繰り返すたびに分母分子が どんどんちっちゃくなっていくから 操作を繰り返し たら そりゃ0になるよねっていうそりゃ0に なるよはいで1回0になればずっと0だ から ねまこれはいいんじゃないですか四角 3Lを正定数と するX軸上の000の部分にあるピ 使え原点を中心と し点Pを通る演習上をPから出発して半時 もに内にLだけ進んだ点をUTVTと表す と道のりの 問題だからここがLTですね違うLLです ねだからUTVTは UT =半径がTcos中心角がL LでVTはT倍の sinLL と うんまこんなもんですか ねはい

2の範囲に対し積分これを求めよとうん 計算です ねAから 1√えこれの微分 は積の微分法でcosLL+T倍の- sin1L下1か消え てんLL かあ待って ああまずいここ でここで終わるわけにはいきませ んまT- 1cosLL+LsinLLVの微分 はsinLL+ T倍 のcosLLか-T- 1sinLL-T2あTのあれT だLLcosLL とということでこれの2乗+これの2乗の あれだからまま色々消えてくれるでしょう cossincossinが消えた 素晴らしい2+2乗これの2乗+これの2 乗が1これの2乗+これの2乗がえ+l2 l 2ということで綺麗になりましたよと はいということでFAっていうの はえT√T2+Lの2DTという形になっ てあと はまT2+l2乗固まりとしておけるもん ねT2+l2=ラXとことによってえ TにTDTがDX とはいということでえT 2√ Xま2T 1/2 DTこれ約分するとT√XでここがDXに なってここがラX-L 2うーん√Xも塊りとしておく か いいえそんなことをする必要はありませ ん実はこれなんと√X+Lと√X-Lこれ で部分分数分解ができる じゃん嬉しいこれ足√X-11+と これ分母を足すことになる から2√x1/2倍して調整DXああ1 からAじゃない間違え たTがA2から1だ からこれはA2+l2 と1+l 2ですかね はいでこの√X+ 1 ん √X+1って簡単に積分はできないのか√ Xをちんでおかなきゃいけないな結局だっ たらさっきの時点で√X=なんかで置い

ちゃった方がその後 の うーんもう1回部分分数分解しなきゃいけ なくなっちゃうなということでこの タイミングですでに X-Lの2でもう1回√XをTとくか√X を まあXで置き直し かでこれもA2+l2と1+Lの2だね√ Xをxとくと√A2+l2√1+l2 でま2√あLX=X2でDXは2x DX2x DXラXがX2-L 2√x x SothatmeX2-L2x2すなわち これは え 1とX2-l2l2だよ ねうんでこれ が部分分数分解できるのか X+1 と逆の方がいい なX-1とX+1これを差を取ると2Lが 出てき ちゃう2L Y DX とということ で√1+L2-√A2+l 2 +LL倍 の [音楽] logx-LX+Lの絶対1 え待ってめちゃめちゃめちゃめちゃやばく ないめちゃめちゃな計算させようとし てる うーんちょっと一旦魔 おこうよし角 4 うんQRを底辺とする等辺三角形をなす ように動かすき 三角形pqrの重心 gxの奇跡を求めよう とまQをアア2乗Rをベベ2乗っていう風 に置いてるわけ でその 場合 まず この中点ア+ ベああこれ普通に2乗と2乗でやった方が いいか-1/2の2乗+ア2-1/4の2 乗が-1/2の2+ベ2-1/4の2 乗

いやこれもこれで果てし ないということでベクトルでやるかG がまず3 のア+ベ+1/23ア2+ベ2+ 1/4まずこっから出発線ですよ とこれこれラXこれこれラYということで ア+ベとアベの関係 式対象式で求めていき ましょうで M点Mっていうの が + いや おこれは革命的なことを思いついた ぞ えっと要はpqとPR三角pqrが2等辺 三角形ということを使いたいわけだからま アノ=ベア=1/2ベノ=1/2これの 条件がのもで 結局PGベクトルとqrベクトルが垂直 だったらいいとということでA11ア+ベ これがQRベクトル じゃんこれとPGベクトルすなわちx- 1/2- 1/4これの内積が0であればいいの か待って今の ちょっとあまりに綺麗すぎて自分でも びっくりしてるということでアとベタが 存在するようなえラXラYを考えていくと ア+ベ=3x- 1/2かつア+ベまた同じ同じよう に えちょっとあまりに天才的な解き方で解い てしまったかもしん ない本当にびっくりした割れながらこんな んこんなことできん の すごこれはねすごい よこれ ちょっと人には分かるこのすご さ一応どんなことをしたかと言う とこれなんか定石だったら嫌だ な三角形pqrが2等辺三角形っていうの を普通PQ=PRとかあるいはちょっと工 してQR垂直PMとかするところをなんと Gの座標をラXLYって置いておくじゃん どうせ でPGベクトルこれとqrベクトルの方向 ベクトル えっともう1回いきますPGとqrが垂直 っていう条件によって処理しようっていう 話PGベクトルはラx-1/2-1/4ね だってGをどうせラXラYって置くわけだ からでQRベクトルの方向ベクトルは1A ア+ベこれの内積=0で2等辺三角形の

条件式をすんなりと処理できるこれ ちょっとすごすぎるなこれ本番ででき できる人いないよ なこれちょっとびっくりしてる自分で引い たアルプアルファベータ は まだから 3/2x-1/2の2-3Y+1/4 とということで 結局これ代入するじゃないです かまず ねそうしたらえっと3x- 1/2y-1/4+X-1/2= 0 かつえT2-3x-1/2T+1/=0な わけだ からでアノ= ベということ でD=3x-1/2の2-4倍のだから2 倍 のこれか3-1/22-3Y+1/4と これが0より大きいですよとでアもベも 1/2じゃないっていう条件をどう しようどっちも違うよってこと はこれの F1/2が0じゃ ないこれで いける 素晴らしいかつ1/4-1/2倍の3x- 1/2+23x-2/2-3Y+1/4 not= 0この3つを式として書けば答えに出る 答えが出るはずなんですがめんどくさい ですね丸 1y= 1/4-3x- 1/2x- 1/2です か [音楽] ふー 1/4- 1/33x-1/2そうするとx-1/6 になるはずだから-13 かあちなみにね大門さん飛ばしたあ大門 さんとんでもないことになってるかもしれ ない引1/9倍のX-6 1 うこれ正確に出すの難しいです ね ひー途中まで華麗に出したの に [音楽] え丸1y= -19x

-11/2まこれは後で妥当性チェック丸 29×2-3x+4 引2倍の待ってこの粘度難しいか もこの粘度難しいか も引3Y + 1/2が0より 大きこの 粘度むずいか も9×2乗+6X+3x- 3xマ 1 -34 1/8これが丸 2これが丸2丸 31-2倍 の 1111か 25へえこれ合ってる自信な本当の本当に めちゃめちゃむず いこれむずいかも [音楽] ひえXが1/2の時y=1/4という点を 通るはずだ 違うどっかで計算ミスしてる わマイナスじゃないなこれ きっとよし4も飛ばそう一旦最後だからね ゆっっくり時間かけ ますゆっくり時間かけるわオケー 資格 後え2011年むずいのかもしれない とんでも なく条件これを満たすものを考えそれか俺 が頭回ってない か説はああるよねあるよ ね p-QA+ bokでABBCの個数を 求めるやばいなこれここで最後の最後で 間違えたら悲しい なa+bがPってこと はP確定じゃんb0確定 やん確定でCが0からPまでのP+1 個だから最大Pなんだねあ最小-Qああ なるほど p-Q-A+BがPということはこれが 消えてa+bが-9とそうすると足して -9Aは正の方向に引っ張っちゃうという ことでAが0Bが-9確定だCは9+1個 場合の数あるよね と括2おP=Qの場合を 考えるそんなんいいんです かWは-A+Bで求められちゃいます とこれが-P+Sとなるものの個数 すなわちSはあPはs+a+b

とであればいいというわけです ねなんで-Pあ-9が-Pなのか-Pより S大きいですよっていうことねはいはい はいだからSが整数なたらSが0より 小さい時あるいは2Pより大きい時は買い なし かはあ でSが0の時 は うんa+b がマあp-Sですよ とということでま一旦Sが0 からSが0以上P 未満P以下の場合を考えてそうする と えっとどうなる かという言うとま要は-PよりS大きい わけじゃんSだけの余裕ができてる とBが-Pの時はAがPかんA がBが-Pの時 は2p- Sこっからスタートして0からp- Sこういうことだあーなるほど 分かってきた よ圧倒的に違うわマイナスSだわ いいえっとあはわか くさ文字がたくさんあると何の文字が何 だったかっていうのが分かんなくなってき た1回気を取り直して1からやるわなんか 飛ばし飛ばしっていう風にやるとさ飛ばす 癖がついて良くないかもああなんかわかん ないから飛ばそうかなみたいな感覚で 飛ばしちゃうからちょっと粘る わ近もう1回大門1からちゃんと丁寧に 考えます01を中心とする半径1の円をC とするAX+1うん-1を通るってことよ ねでQRとする三角形pqrの面積SAを 求めよこれに はえAXy+a=0との点と直線の距離 っっていうのを考えて 01 でしょ1-AA2+ 1あらちょっと待ってルない じゃんよかったなんか戻っ てSA全然違っ たえ大丈夫 大丈夫 か あなたは大丈夫です か本当に本当に大丈夫です か はい全然違うことして たひどい ひどいひどい ひどい

これAがなんか適当に [音楽] うーん01/2を通る時とかもやっといた 方がいい な 2/5かAが1/2の 時オブの2おおこれはあってそうだ soOnce Again微分をしなきゃいけ [音楽] ません 気づい た今年難しいかも 結構だけど解けない問題じゃない なめんどくさいだけだもんな H びっくりした4字方程式と思ったらなぜか 4上して たaの3-3A2-3A+ 1 ん A+1でくれ てA 2 引4 a+ 1せ せせA2-4a+1の符合え 2-√ 3えプラスマイナスだから2√2-√3か な [音楽] うん まあ後でもう1回チェックしようとあ四角 には解けたんだよ な四角には√2-1を繰り返していってこ 2 がえ√2-1を繰り返すからそりは√2- 1答えの1つになる か試せば気づかなかったク かでも良かったとする といいんじゃないこれ2引いた 場合逆に1引 場合 でかこさんはユクリットのご情報で どんどんちっちゃくなってくよっていう ことを言えば いい待って四角3だそうだもう1回やるか 四角3かこ 1ututが UTミスってる 説うーん合ってるなあ T 塊のピブL か-T

1/ ええ間違ってない な [音楽] うーんすごい問題かもしれ ない第3 問 めちゃくちゃ ひどい計算をさせるだけの問題かもしれ ないルT2+l2+Tで置いてみる か いやそういう問題じゃ ないそういう問題じゃないよ いやでもいいとこまで行ってるああだから ここまでは行ってるもん ねT2+Lの2乗をラX√だから√T2+ l2をx置いてんのかちょっと置き直そう √T2+l2=X そうする とまずT2+l2=x2より2TDT= 2xDXとまTDTがxDXだからFA =Tがaから1だから√A2+l2√1+ Lの2 で分子がx分母 がえ tdtT 2で変換することでX2-l2x2DXと うんここまでは合ってます ね で これは1+X2-L2のl 2 うん1 +まL+まX+ LXL かX+Lx-1これを足すと2xになっ ちゃう引く とだから逆に 引こうx-1-X+L これ はX2-L2l2LということでこれをL L倍することによっ て同じだやってる こと え+LY の本当にlogx- LLogX+ L です√1+L2-L log はlog√12 +うーん√1だから マイナス√61+l2+ Lになるわけだ から-2倍の

Log1+l2の√+ L と これめっちゃ表記揺れあり そう これ1がAの時にAが1の時にちゃんと0 になってるかAが 1うんなってるねええひどい問題ひどい 問題なのか 果たして いい問題説あるな逆に1周回っ てlogAで割る とAが0 でしょlogA-無限だから全部消える- LlogAここも 消えるlog A あ0に0だからログああ全部消える全部 消えましたかこ3マイナス L ふまあまあ まあよし3は一旦3まで溶けてる はずうわもう1時間経ってん のとんでもないなこれ今年の 問題今年の問題とんでもないです ねとんでもないっすよね とんでもない な今日ラスト だね 早く 早く頼む よ 頼むあとこれだけなん だ頼む よ ア+ベが3x- 1/22+ベ2が3Y- 1/4 うんここまではいい なであとね除外もね求めなきゃいけないの がめんどくさいんですよねこの 除外6本 目かな123456本目写真きまし た-1/+X- 1/2これが 0 ですこれはxが1/2の時y=1/4を 通りそう か通る ね通るわあじゃ途中式計算ミスした きっと 計算ミスしてるね 絶対いやこれ計算ミスがあることによって あれってなってるっていうのがもったい なさすぎるよなあまりに

も これがせい ですがらるっているね でアルもベタも1/2じゃないっ てで もアが1/2だったらベタも1/2になる もんねだこれいらん わこれいりません条件とし て はい ただの計算ミスだ きっと分かっちゃっ たハッピーやろーだ な ああ富豪ミス かただ のそうだよ ね行けた 4よかったなんか変なことしてた なアホアホ バカ バカ よしいい ぞいいんじゃない か いいんじゃ ない うん 2/x2引1/2x+ 1/8 おお これもし やこ これ もし交点が1/2だったら確定演出 です正解まったなしXが1/2だとし て1/9 -21/6 1/121/4これ確定出ではない か 2や2 や1/2を入れると 1/4これはけたわこれ行けました確定 演出でし た一応妥当性 チェックG はこっち側にありますとそうだね うん1/21/4よりも上側にあってここ は含ま ないじゃY= [音楽] え1/9かX-1/6- 1/12前金線も書いた し気分はいい 感じ

ここの3/2も書いときます かよし しゃ富豪ミスだったさっきの シンプルマイナスがなんかついちゃってる なぜか知らんけどさて四角 後これちょっと裏紙としていらないな置い ときます四角 後かこ1はできてる [音楽] はず うん合ってるねこれは オッケー うんだからP= Qこの条件を 満たすものを答えよというわけですだから AとB を決めてあげればいいんだなきっとな うんa+ bこれ がP Sっていうのが分かりました とそうする とまA がだ からまSが0より小さいとその時点 でPを超えちゃうからありえないし同じ 理由 でSが2Pより大きい 時これもマPより小さくなるからありえ ないと時 なし で0からPの 時この時 はp-Sっていうの が えま当然0以上P か うんだからAがに寄ってるんだよ ねはいそうなん ですBが0だっ たらAはp- SBが-1だったらAはp-S+1bが -2だったらAはPS+2で進んでいって p-Sは0以上P側だからB =A=Pの時B=-Sっていうことだね てて てんこの場合 は えっとCの個数 がab+1AB+1がPA+1ab+1が p-S+ 3こういうことだてんてんてんで p-おP+S+ 1急におしゃれなことしてくれる ねまだから2ずつ増えててる等差数列です

とはいじゃ数はって言ったら差を取ると2 SだからS+1個かS+ 数これの平均にとってあまS+1 かS+1 2だから2P+ 2P+1S+1とかいう 感じなんかそれっ ぽいえ妥当性チェックのためにはS=0 この場合にちゃんとP+1になってますか なって ますなって ますS=Pの 時P+1の2 乗それっぽいです [音楽] ねPがS以上2Pの以下の時これは対称性 より 対称性より2p-Sを入れてあげればいい のかなSに2p-Sを入れる とP+12PS+1だからSがPの 時P+1の2乗Sが2Pの時P+1うん これは合ってる な [音楽] ふうPPパターンのソスを 求めよう はいかこ3Sが0の時 はP+1下0は 11からPまでのものを 足すPP+1これの2倍に真ん中のP+1 を足してあげるとそうするとP+1でくる とP+1p+1の3 かそれっぽいの出てきたから妥当性 チェクP=Q=1の場合 -1b0 APは 1えPが1の場合これ は うんあって そうあってそう うん 今回難しいので はそんな匂いがしてい ます あれSが1の時Pが1の 時3じゃない ぞ4になっちゃう なあ うお四角4までは一応できてるんだけどな で四角5も終わり そう あれSが1の時ああ4か ああくそ4ですだからいいん だよかった四角後合ってる でしょう

四角 6いよいよ ラスト です よし心してかかろうXY実数としxダナ するXはせかそうかそうかXがせっていう 条件がなかったらどうすることかと思った よYは正とは限らないの かそれはそれ はとりあえずま軸 が-2xではない かだっ たら これが1/22以下か1/2以上かで場し てみようじゃないかすなわち-2xを かける と-X以上の 時この時はえマッが軸が ね1/2よりこっち側にあるわけだ から まあMAは1の時ですよ はいF1=X+YYが逆に-X以下の時 はこれは もうマはF 0 0です よ0かX+Yうんそうだね正解正解じゃ 続い て小値これは軸が0から1の間にあるか どう かすなわち えYが0以上2x以下の時 はまxt+ 2x -x2 かYが2x以上とYが0 以下Yが0以下この時点 で軸が 負最小値はF 0F 1 よしうんこんなもんですわミニマムという ことで最大値と最小値の差 はYが-x以下の時yが-xから0の 時 うおこんな書き損じる0 から2xの時yが2x以上の 時yが-x以下の時 は0-0で 0 最大値が0引最小値 がん-x以上の時点でX+Yなんだ全部X +YX+YX+Yで引0なのか–4xy 2なのか引X+Yなの かそんな最大と最小の差が0ってことあり

えない間違えてた 絶対Yが2x以上の時はF1これ逆 だ最大値だもん ね えそんなゼロなわけ ないそんなわけない もん おかしいちょっと待っ て変な の ぜキリスミスし てるなんでこんなケアレスミスするん だろうこら こら軸は2x のYだ よやれやれ こんな初歩的なミスをするなんてとっても ありえ ない自分に 絶望こら こら ねえおかしいと思っ たおかしかったですすいませんでし た出直してきます -2xから-X -xから0でYが0以上の時 かで最大値に関しては-xを境にして-x より小さい時は 00-xを超えるとX+YX+Yに変わり ますよ と引引引 引Yが -の時はX+Y-2xから-xの間の時 は-2xから0の間だもんね-4xy2 -4xy2yが0以上の時は0 と マイナス-X-YでしょY2でしょx+y +4Xy2 でしょx+ y0はありえないから一応境い 目 うん うん 境目チェックは 完了 うんまあまあまあいいでしょういやこんな かこ1簡単なのに本当に不がない 実数X0かつ実数Zで0以上1以下の範囲 の全て実に対してこれを満たすようなもの が存在するSの外気を 示せ うんだから実数Zでが存在するんだ から 結局 結局最大と最小の差

が1より小さければいいんだよっていう 話これが1以下全部最大最小が1以下だっ たらいいんだよっていう話Zをうまく調節 してあげればいいからね0以上1 以下この幅をうまく調節してあげることに よっ てだから全部1以下だったら いい 最大と 最初 んちょっと待って くれこれ実はこの問題もとんでもないので は2x+の 22x+yの2乗が4xだから-2√ x引 2xえちょっと待ってこの問題もとんでも ないのでは実 はこの4つの領域を図すればいいと いやあ5時半までに終わらせ たいちょでっかく 書こうXがせだもん ねYが- 2xyが- XYが 0が0 大きで0より大き方-X+ 1えYが-xから0の間 はこれは飛ばそう-xから-2xの間はy 2yがだからYが2√xと-2√Xの間 ってこと はこういう こと-x- 1 うわちょっと待ってこれとんでもない問題 なので は気づいちゃっ たこれものすごい問題なので は [音楽] いやこれがやりすぎた な 書き直す か 4 え MWhat あGOD DETHう2√x- 2xこんな 感じこんな感じですか ね はいIwishIwouldBeLike Thisま滑らかになってるはずだからね それぞれ 実際微分してもいい感じに関数

がきうん4-8で-4オッケー かこ2がようやく 終わり え大変すかこ3次の上気を満たすXYZ からなる領域をVと するやな予感そ実 しての実数Tに対して か Z は なるほど Zは最小値の時ですら0以上であって 欲しくて最大値の時ですら1以下で欲しい と Z最小値の時で すらだから-m以上みたいな感じで最大値 の時で すら1以下でやって欲しいから 1-ラジM以下であって欲しい ということ か ええ ええこれ半端なく 大変 です 半端なく大変なので はオタに出ちゃっ たこれ半端なく大変なので は 大変マックスえ最小値これがマックス でしょこれがミニマム でしょこれ半端なく大変なので はヘルプ mehelp me プリズ ヘルプミーわあ作業だ作業ではあるここは 作業ではある 作業ではある が でZの範囲が決まったが今求めたいだから X=ラ Xの時にどうなるかYZ平面 でこの式たちがどうなるかっていうことを 図しなきゃいけないでしょとんでもなああ でもああでもでもでもで も理解してき た YZでXXがラXの時yが-2 下だから -2 -1ん違う-2ラx-2マラxxだから むしろ負の方が大事なのか今回おマイ ガもう間もなく終わり よもうまもなく終わり

ます-2 x-x0でえX=ラXだったら-y-xz 1この範囲ではZが1 か ないよしあいいこと だとてもいいこと だ マイナス 1マイナスラージx か よっしょ [音楽] くわ これすごい問題だ なこれ解くこと想定されてない よテ ステモ時間が足んない もんえこれYZでしょYが-2ラージま 単純にね今頭回ってないっていうのはある かもしれんけどにしてもだ よYXy2 乗y2乗小なりコル4ラージX Zラージ X んなんやなんや間違ってる気がしてき た間違ってるか も間違えたら即終了だもん ね イエ イエス えっと 一旦 12345丸付けしよっかな オケで最後の問題はラスボスとして取っ とく わ 一旦SA =大門1のかこ1もうもう行くえっとね 四角1の1はいろんな数入れて試してる から大丈夫はずはいはいはい はい1/2とかも代入してみて1/2 か5/55になってるっていうのも確認 できたの で多分あっ てる はいあ一番やばいの四角3 だ番やばいの四角3これね ガチ計算的 にこれ間違えてるかも レプレッシャー スタディか1番行きますはい1の1 ね分母はA2+1はい分子はえっとま表記 れあるけどはい√2かるはい√Aかるはい か1- A正解よしこれが合ってればかこ2は2-

√ 3正解よしで四角にはいけると思う四角に ははいまず√2- 1正解後頭的にねでか2が√2-1と 1/2+√ 5-1+√5黄金 比じゃないわですはいかこ3がこれ照明な んです けどえ と1回の操作を行うごとにあこを重ねると えPが例えばダPダシュになった 場合QとQダッシュPとPダッシュが減っ てるわけ必ず減少 するとする とPからえ9回以上減る減らすと必ずどか のタイミングで0となる瞬間があるよっ て9以上の全ての施設に対してNのが0に なる要はえっと競技単調現象であ るっていうことから1回やるごとに1以上 減るみたいな感じのこと言えばいいのか なそしたらそ絶対0になるやるからそう9 回以上そう9回以上の操作を行う と1以上のや引くから引くから そうオッケーですオーで3ちょっと 飛ばそうかな1回はい3ちょっとリスキー があるリスキーだわ4は はい4がえっと ねこれなんすよちょっとあれだよね難しく あ これはいはいはい はい2えっとね6はい1/6-1/12が 前金線 のま双極線というか反比例の式の-1/4 から1/2をよりこっちのところあ1/2 1/4の こっち側こ えっと 定定は1/6から 1/2正解よしこれね符合最初ミスって 合わなかったんだよねで四角5はもうこれ ってるはずQ+1待ってストップP+1と Q+ 1正解ですでかこ2がえっとねSを するんだけどはいSが0より小さい あるいは2Pより大きい時は個数なしはい でSが0以上P以下の時はP+1S+1 はいでPSがP以上2P以下の時はP+1 2P-S+ 1素晴らしいよしでかこ3がP+1の 3正解ですよしで門とが最のなん ですここここがえぐいねで大門3のかこ1 は 余裕3のかこ1ってかこれ間違ってたら話 になんないからか1はUTがTcosLL VTがT

Sin L正解 ですかこにどうしようかなこれいつまでて も持てないよねかこ3は いやいやかこ3はねマLだと思うんだよね いや待ってちょっと待ってうんマイナLだ と 思う正解ですだよねはいだかこ2がこれ 表記よりめっちゃありそうだもんねめちゃ あり える えっと方針としては 結局T√T2+l2をAから1まで積分 すればいいとで結果√T2+l2をxと漢 することによっ て はいX2-l2x2ってやつを√A2+l 2√1から√1+l2まで積分すればいい ということになってこれを部分分数分解し てごちゃってやる と はい一応今出てる式こ答え これえっと確定であるのが√1+L2-√ A2+l2このこが絶対あるで残りがLL を含むこなんだけど はいAが1の時0になってるんだよな ちゃんといやこれこれ さ試験本番で出たとし て張るよ なLの2乗 でしょ+X2-L2x2l2+l2でしょ x2乗でしょ で√これ+これ+LLlogx-Llog x+Lでしょこれ間違ってないもんねで 代入して第取るで え√1+L2-lと√1+l2 乗ん引Lと+ L [音楽] うん足Lの方が マイナ2 倍で下から入れるっていうのをちょっと 注意しなきゃいけなく てちょっと待ってねあとちょっと全 大 大+l2+ Lだってここで終わる可能性あるもん なこれ全然 ある よし合ってる はずはいはいできまし たまずはい√1+L2-√A2+l2-L logAあLでくるまLで括らないで展開 した場合ね-llogalloga-l log√1+l2+

L+L倍のlog√A2+l2+L 過正解ですああ良かった 本当にすごいこれねやばいよ本当にすごい これちなみに本当にやばいよいや計算だけ なんだよねうん計算だけの問題だけど ひどいもんひどいよねこれ本番では ちょっとビビるかもしんない本当にすごい ちなみにこれ多分2011年東大数学とか 調べたら過去災難とか言われてるかもしん ないえそれぐらい 難しい本当に 難しい 四角6のかこ1もねさすがにいけるでかこ 2かこ3が最後のやばなんだよねでかこ2 は解けてるんだけど一応復習はしたい復讐 というか健山したい はい えー4回4箇所倍分けしますはい Yがはい -2x以下の時 はい-x- YはいYが-2xから-Xの間の時はい えっとね一応-2x代入し たらYX2 はいでYが-x以上0以下の時 はx+y+4/x 2はいでYが0以上の時はX+ Y素晴らしいはいいやかこ1はねできるの ただの2次関数の最大最小問題だからで かこ2は大変なんだけど はい一応今ある 図んよ領域はxが0より 大きい教会を含むか否危な教会を 含む 覗く 今んとこねこういう図ができてるんだけど はい一応ね共有だけしとくわはいでもかこ 3に関してはちょっとね 今もうちょいね1回頭をリフレッシュし て0から解きなします だから全ての実数T動くってこと はX2+ YTこれがMからラMの間だとして 結局Z がまFTがMの時ですら0以上であって 欲しい-MよりZは大きかったほしいとで すんごい大きい時でも1以内にあるような Zであって欲しいから1-ラm以下であて 欲しいとということに基づい て これれこれか分かった えっとラX1あ0 T となるラx=tにおい てYが-2Tの

時この場合はM がX+Yだからマナ y+ t小な コールZ小な=1-ラジ M-2 Tで-2TからTの-Tの範囲の時は最小 値が-4xy2だ からと 4y 2 1この範囲の時 は最小値 が41y に 1-T-Yだから-y+1-t かこっちは-y t最後Yが0以上の時は最小値が0だから 0 から1-だからT 引ですよとはいそうですよ ね Y Z うん おおあとはこれを面積求めて0から1まで 積分する だけ 難しいよなこれ冷静 にこれすごい難難しいと 思うこれめっちゃむずく ない えっと1-Tの2乗ってやつがいて直角 三角形2つ集めます とでここ のまず長方形が T 足この台形 が1-Tあ1/2倍のT の2-Tそっ から-2Tから0 まで積分すればいい とこれが1/4y 2D Y して 上でこれを0から1まで積分すると 1-18 38一応答えは出た が答えてたけど なまま え かこ2は-2√x-2xこれはあまりに- 2xより下側だから考えなくていいマナス あ2√x-

2xこれ単調現象だもん な √1-2だ からま生きる でしょうかこ2は一旦提出するわこれで ファイナルアンサー はい それでは もうあたはこの問題には手をつけられませ ん 大門6 確認正解 おはいやこれね結構緊張するよまでもやっ てることは難しくないんだけどねただ めんどくさい非常 にでかっこさんがねいやこれか四角6はね 捨てもだわどう捨てもかというと うんかこ2とかこ3でやらせてることが 違うというかもう1回図をベベベーって 書かせ て満点取るのに時間がかかりすぎるそう かかりすぎる場分4箇所の場分を正確に図 し て正確に図した上でかこ3は積分計算ま 積分計算そんな大変じゃない けど 来週につげる かx=tだとするとYが-2Tか-2から -2-2から00以上でこの範囲でえっと マナX+Y が-x-Yうんそうだよねねで 1ここも 1で逆にここは1/4y2y21-y x-y+1- t0-y+1- tいやこれむずい よ-2Tかと-tまでと-Tから0と0 以上でそれぞれ かかなきゃいけないもんね難しい よ [音楽] うん [音楽] うん あってそうだ な1-T2乗直角三角形2つで正方形にし てTTのところについてはT下1とT下 22- Tそっから積分で引1/42DYを-2 から0まであTから0まで 引t+t+t +t-1/2t 22T2+ 1 引1-

1/21+1/2T-え 12y 38y3 TT 32/T2乗だからさを取ると6-6T でうかこれが妥当なのかわかんないんだよ ねXが0の 時まあこれを0から1まで積分すれ ば はい 最後はいじゃあ行き ます はい やあ四角6の過去3 番 はい 188 この 問題正解 ですすごい色モ屋の緊張感 素晴らしい本当にすごいえ色モネ屋で 1000万円取ったぐらいのミリオネアか ないやそか色は笑わせ頭回って ないや本当にすごいいや本当にすごいもう いやでもねほぼ2時間半使いかけてるもん ね これ確かに21時間やってる21時間やっ てずっとぶつけやって最後そんなもう クタクタだったでしょうええ結構クタクタ だったねしかもえ2011年絶対むい そうなんえ分でむい年の中でもむの問題か なでえわかんないどうなんだろう2時間半 以内に関東でしょやばいよかった本当に すごいいや大変だったな すごい しかしあれあれあれまだ来週ある あら いやすごいえ待って13年分だから 52だから折り返したね折り返しました オーロは無事乾燥無事感想ですねあと 袋78問連続関東というね78 巻何言っているんだあね78巻やったやば すぎるマジでもう いやなんかねこんな問題あったっけって 問題結構あったわああこのパターンの個数 とか全くねあとこの計算全くね覚え見覚え なかったなこん多分当時見たこ見たとして も さもうあこれめんどくさいからいいやって さ飛ばしてたと思ううもう記憶に残んない ぐらいね何もなかった ゾロだ何もなかった わよし寝よいや本当にはいということで 今回13年分無事え完走しましたえ一緒に ね伴走してくれた方どれぐらいいるのか

わかんないですけどあのちゃんとね受験生 はゆっくり休んでくださいそしてえ共通 テスト終わった方はあのね2次試験に 切り替えて僕もあの2次試験モードで今日 頑張ったので今日というか21時間東大 数学を解き続けたので21時間東大数学を 解き続けるそんな日が来るとは思いません でしたがあのまあの皆さん無理のない範囲 ででも本気出せばねこれぐらいできるんだ よっていうことであの体を壊さない範囲で 全力で頑張ってもらえたらいいなと思い ますそして僕がねあのま数学の問題を解く 時にどういう思考プロセスで解いているの かま初見の問題でした時にま結局ね大座 ノっていうのはま式変形をどういう風にし ていくかじゃなくてその式変形をするに 至った頭の使い方そこが1番大事なのでま そのねえ頭の使い方思考プロセスその パターンをえ全てギュっと濃縮した徹底礎 講座えスチ2Bさ絶賛開口中ですので気に なる方は概要欄の方からチェックしてみて くださいそして公式ライの方のえ登録の方 もよろしくお願いしますあとあれですねえ 先週共通テスト終わりましたが赤門道場え 今ね4人が東大事件に向かって頑張ってる ので是非そちらの応援の方もよろしくお 願いしたしますはいということでまた次回 の動画そして来週のえ東大25加年間違え たら即終了ライブでお会いします

▶告知
問題を間違えなければ、本日は13年分までできれば配信を終了します！
13年分正解できれば、来週に続きを行う予定です！

▶ルール
・間違えたら即終了です
・前期理系数学のみを解きます
・年ごとに解き、1年ずつ採点します
・解答提出前に見直しを行うことは可能です
・ごはん休憩、トイレ休憩を挟むことがあります
・12時間を越えない範囲でライブを切ることがあります

▶討伐順
2022→2023→2021→2020→…
最初の2年だけ順番が逆になっています！
以降は降順です！

令和6年能登半島地震により被災された皆さまに、心よりお見舞い申し上げます。

この度河野塾ISMでは、石川県・富山県・新潟県にお住まいの皆さまに、一部講座（徹底基礎講座数1A／数IA講座を既に受講済みの方は数2B）を無料でご提供させていただきます。

私たちの講座が、少しでも皆さんの勉強の支えとなり、復興への一助となれば幸いです。

また、受験生及び保護者の方々におかれましては、不安を抱えている方も多いかと思います。

今までの努力は、決して無駄になりません。

入学試験でその力を十分に発揮できるよう、河野塾ISM一同、心より応援しております。

皆さまの安心とご健康、そして1日も早い復興を心よりお祈り申し上げます。

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【視聴方法につきまして】

①既に河野塾ISMにご登録済みの皆さま

公開済みとなっておりますので、マイページにログインの上ご視聴ください。

※住所登録に誤りがある方は、お手数ですがDMにてご連絡をお願いいたします。

②河野塾ISMを初めてご利用になる皆さま

河野塾ISMアカウントを新規登録の上、DMまで下記情報をご連絡お願いいたします。

– お名前
– 河野塾ISMにご登録いただいたメールアドレス
– 保険証または学生証のお写真

新規登録（無料）はこちら

https://konojyuku-ism.com/signup

ご不明点があれば、河野塾ISM X公式アカウントのDMまでご連絡をお願いいたします。

https://x.com/konoism

株式会社Stardy

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私、河野玄斗は「河野塾ISM」を始動して、受験業界の新たな時代を作ります！
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『神脳・教育界の革命家　河野玄斗』
東大医学部在学中に司法試験に一発合格。
河野塾ISM代表。頭脳王3度優勝。
公認会計士試験に合格し、三大国家資格を制覇。
初書籍『シンプルな勉強法』は世界でも翻訳され、シリーズの累計12万部突破。

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